最大值原理的內涵
設系統的狀態方程為:
最大值原理
最大值原理控制u屬於 中的某個有界閉集U，最優控制問題是求u∈U，使得
最大值原理最小。
最大值原理假設f(x,u,t)的分量為 並假設
最大值原理都是其自變數的連續函式。用u*、x*分別表示最優控制和最優軌跡，則u*使J(u)取最小值的必要條件是：
（1）存在協狀態向量λ*(t)，它和x*(t)，u *(t)一起滿足正則方程
最大值原理（2）哈密頓函式作為u的函式在u=u*(t)取最小值，即
最大值原理（3）正則方程的邊界條件：
最大值原理a.若 是給定的，則邊界條件為
最大值原理b.如果tf給定，x(tf)自由，那么邊界條件為
最大值原理c.如果tf也是自由的，還要加一個條件：
最大值原理以確定tf。
d.如果要求x(tf)落在m維流型S上，
最大值原理那么邊界條件為
最大值原理如果tf是自由的，再增加條件
最大值原理可以看出，上述的正則方程和邊界條件與u無約束的情況用變分法導出的完全相同。
最大值原理與哈密頓函式
如果最優控制問題是求u∈U，使得目標函式J(u)最大，在最大值原理中，最優控制u*應使哈密頓函式值最大，即
最大值原理對區間[t0 ,tf]上的所有t成立，其含義是：對於由最優控制u=u*(t)引發的x*(t)和協狀態λ*（t），哈密頓函式作為u函式，在u=u*(t)處取最小值。
在u為標量的情況，必要條件的含義是：在特定的時刻t和特定的x*(t)、λ*（t）曲線，哈密頓函式的右端可以看做u的函式，最優控制u*(t)使它取最小值
最大值原理當U為閉區間[a,b]時，允許的控制滿足
最大值原理哈密頓函式僅作為u的函式，有如圖所示的三種情況：
最大值原理第一種情況：哈密頓函式的最小值在區間[a,b]內的點達到。如果哈密頓函式關於u是可微的，則必要條件為
最大值原理其他兩種情況是哈密頓函式的最小值在區間[a,b]的邊界點達到，這時則必須用更廣泛的條件
最大值原理也就是用條件
最大值原理來描述。
最大值原理求最優策略的步驟
當x(tf)是自由的時，套用最大值原理求最優策略的具體步驟如下：
第1步：構造系統的哈密頓函式為
最大值原理第2步：由
最大值原理導出決策變數u與狀態變數x、協狀態變數λ的關係，記為u=u(x,λ)。
第3步：寫出以下正則（正規）方程組為
最大值原理將u=u(x,λ)帶入正則方程，解出x=x*(t),λ=λ*(t)。
第4步：將x=x*(t),λ=λ*(t)代入u=u(x,λ)得到最優策略
最大值原理如果決策問題還要求滿足邊界條件x(tf)=xf ，則以這個邊界條件取代正則方程組中的條件：
最大值原理最大值原理的局限性
最大值原理雖然解決了古典變分法所遇到的困難，但是它也只給出了最優控制問題解的必要條件，而不是充分條件，所以由最大值原理所求的控制函式不一定是最優控制，因為有可能最優控制根本不存在。如果最優控制問題的解存在，但是從這方法得到的控制函式不止一個，就需要進行逐個檢驗，從中確定出最優解，如果該問題的實際物理背景有最優控制，而從最大值原理得到的解又只有一個，那么這個解一定是最優控制 。
