微分形式

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微分形式(differential form)是多變數微積分,微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式,及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法,都是由著名法國數學家埃里·卡當(Elie Cartan)引入的。 微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω:M→Λ(TM*),若對於外形式叢的叢射影π,滿足π°ω=id,則稱ω為M上的微分形式.

定義

微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω:M→Λ(TM),若對於外形式叢的叢射影π,滿足π°ω=id,則稱ω為M上的微分形式.

r次外形式叢的光滑截面稱為r次微分形式,簡稱r形式.微分r形式全體構成的空間記為E(M),E(M)是C(M)模.因此,M上微分r形式是光滑的反對稱r階協變張量場.微分形式全體構成的空間為

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設β∈E(M),(U,y,…,y)為M上某點處的區圖,則微分k形式β局部地可表示為

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其中b是U上的C函式.

E(M)關於外積有一個代數結構,設ω,φ∈E(M),c為常數,可以定義ω+φ,cω,ω∧φ,f∧ω(f是0形式),從而使E(M)在外積之下構成一個分次代數.

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微分形式是微分幾何學中最基本的概念。 我們首先以n維歐氏空間Rⁿ為例, 來解釋微分形式。 設 是歐氏空間坐標。 在這個空間中, 我們有自然的度量, 即歐幾里得度量, 它的微分表達式為

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。 這裡 是傳統的一階微分。而 指的是 和它自己的在域R上的張量積。類似地,ds是無窮小向量dr的模長,而 是ds和自己在域R上的張量積。

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把 作為基向量,其中,p為 中的一個點,以實常數為係數,可以生成域R上的一個n維的向量空間, 稱為 在點p的餘切空間,線上性同構的意義下,它就是 自己而已;而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函式,則上述的n個基向量可以生成函式環上的一個n秩的模,叫做一階外微分形式模。在代數幾何中,這個模是很常用的。

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另一方面, 對一個n維向量空間V, 假設 是基向量. 我們可以定義r次外積空間, 這個空間由以下形式的外積(有時也稱楔積)作為基元素生成: , 這裡 。

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今取 , 則 中的元素稱為r次微分形式, 它可以寫成基元素 的線性組合。 這裡每個基元素前的係數可以視作坐標 的函式。

微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構成一個外代數。

性質

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微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。 比如 是一個r次微分形式, 那么 。這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之,我們有映射d: → . 這個映射稱為外微分。

易知兩次外微分的複合等於零, 即dd=0,即poincare(龐加萊)引理. 一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件,我們就得到所謂的DeRham復形, 由這個復形,就導出了所謂的DeRham上同調, 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。

此外, 外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式, 即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式,斯托克斯公式的概括和總結,是單變數微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變數中的推廣。

斯托克斯定理

利用外微分和積分運算, 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是說一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分,就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況, 都是經典微積分理論中的重要公式, 比如牛頓萊布尼茲公式, 高斯公式, 格林公式 等等。

斯托克斯定理表明, 外微分運算元d和拓撲圖形的邊緣運算元是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。

例子

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取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那么, 這裡是Q關於x的偏導數,其餘類似。

此時的斯托克斯公式就是格林公式, 即線積分可以轉化為面積分。

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