常微分方程變換群理論

研究將常微分方程的解仍變為解的變換所組成的群的理論，由德國數學家M.S.李於19世紀末葉所開創。

正文

設動力體系為

或

(1)

它的滿足初值條件t= 0，x1(0)=x,y1(0)=y 的解為

(2)

把它看成是將(x,y)平面變到它自己（把點(x,y)變為點(x1，y1)的一個依賴於參數t 的變換。假設t可以連續地取一切實數值，則有無限多個變換，它們構成一個連續群，稱為由(1)所確定的變換群；稱

(3)

為對應的無窮小變換。易見(2)由(3)惟一確定。反之，當｜t｜很小時若把(2)按t的冪展開：

　 　(4)

就知道(3)也是由(2)惟一確定的。設方程

(5)

在變換群(2)之下不變(從而它的積分曲線族也不變),則有

　 (6)

這裡

　 (7)

由(6)可得ζ，η，F應滿足方程

(8)

η＝Fζ總是(8)的解，換言之,由(1)消去dt所得的方程在群(2)之下總是不變的。
利用(8)，對已給的 ζ、η，亦即已給的群 (2)，可以決定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不變。當 ζ、η、F一起滿足(8)時，若令 則 (8)便可改寫為

　 (9)

這表示μ是方程dy-F(x,y)dx=0即（5）的一個積分因子，亦即μdy-μF(x,y)dx=0是全微分方程（李的定理）, 從而使求解問題化為求積分。
特別，在平移群x1=x+t，y1=y（此時ζ=1，η=0,由(8)可解出F=ƒ(y))之下為不變的方程(5)取

的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不變是明顯的。
在均勻放大群x1=kx,y1=ky(令k=et即見ζ=x,η=y)之下為不變的方程(5)是齊次方程這一事實由齊次方程通解具有形式 也可清楚地看出。又由(9)知此時上述齊次方程有積分因子

這和初等常微分方程中所得到的結論是完全一致的。
利用這種方法就可看出，許多方程之所以能用初等積分法求解,都是因為使它們不變的變換群(2)是一些易於求解的方程(1)的解。
從理論上講，(1)的通積分可表為

(10)

其中第一個積分是由(1)的第一個等式 積分而得，故不含 t。設 t=0對應於由(10)所確定的變換群的恆等變換，即知變數代換u=G1(x,y),υ=G2(x,y)能把群(10)化為平移群

在新變數u,υ及 ζ呏1，η呏0之下,(8)式成為從而方程(5)也就成為可積方程
因此,如果對於已給的方程(5)能找到使它不變的變換群(2),就可以取(1)的前一個首次積分中的G1(x,y)=u以代替y而使(5)成為可積方程。例如方程

(11)

在群x1＝τx，之下不變。 令τ＝et可知x1＝xet,y1＝ye-t是的解。而此方程有一首次積分為xy=C，亦即xy是變換x1=τx,y1=y/τ之下的不變數。取u=xy為新的未知函式以代y,則(11)便化為可以分離變數的方程xuu┡=u2-3u+2。
以上的方法也可用於高階方程的降階，例如方程

(12)

在群x1=etx,y1=e_2-2ty之下不變，而後者是

的解。此方程有一首次積分為x2y=C,今取u=x2y以代替y,取υ=lnx以代替x，再記則(12)被化為第二類阿貝爾方程 它顯然可化為線性方程求積而得再積分,最後可得(12)的通解為

用變換群理論求解常微分方程的方法至今還有新的套用，在J.M.希爾的《用單參數群求解微分方程》一書中有許多用變換群的方法求解各種方程的例子。
此外，值得一提的是M.S.李、(C.-)É.皮卡等將變換群理論用於線性變係數齊次方程

研究它的基本解組在經受含參數的線性變換時所構成的變換群的不可解性，得到與伽羅瓦理論完全平行的結論，因而從另一完全不同的途徑得證：n(≥2)階線性變係數方程一般是不能用初等積分法求解的。
參考書目
　J. M. Hill, Solution of Differential Equations by Means of One Parameter Groups,Research Notes in Math., 63, 1982.