概述
巴拿赫不動點定理，又稱為壓縮映射定理或壓縮映射原理，是度量空間理論的一個重要工具；它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。這個定理是以斯特凡·巴拿赫(1892–1945)命名的，他在1922年提出了這個定理。定理
設(X,d)為非空的完備度量空間。設T:X→X為X上的一個壓縮映射，也就是說，存在一個非負的實數q<1，使得對於所有X內的x和y，都有：
那么映射T在X內有且只有一個不動點x*（這就是說，Tx*=x*）。更進一步，這個不動點可以用以下的方法來求出：從X內的任意一個元素x0開始，並定義一個疊代序列xn=Txn-1，對於n=1，2，3，……。這個序列收斂，且極限為x*。以下的不等式描述了收斂的速率：
等價地：
且
滿足以上不等式的最小的q有時稱為利普希茨常數。
注意對於所有不同的x和y都有d(Tx,Ty)<d(x,y)的要求，一般來說是不足以保證不動點的存在的，例如映射T:[1,∞)→[1,∞)，T(x)=x+1/x，就沒有不動點。但是，如果空間X是緊的，則這個較弱的假設也能保證不動點的存在。
當實際套用這個定理時，最艱難的部分通常是恰當地定義X，使得T實際上把元素從X映射到X，也就是說，Tx總是X的一個元素。
證明
選擇任何
。對於每一個
，定義
。我們聲稱對於所有的，以下等式都成立：
我們用數學歸納法來證明。對於n=1的情況，命題是成立的，這是因為：
假設命題對於某個
是成立的。那么，我們有：
從第三行到第四行，我們用到了歸納假設。根據數學歸納法原理，對於所有的
，以上的命題都成立。設
。由於，我們便可以找出一個較大的
，使得：
利用以上的命題，我們便有對於任何
以及
，都有：
第一行的不等式可以從三角不等式推出；第四行的級數是一個幾何級數，其中
，因此它收斂。以上表明
是
內的一個柯西序列，所以根據完備性，它是收斂的。因此設
。我們作出兩個聲明：第一，
是T的一個不動點，也就是說，
；第二，是T在(X,d)中的唯一的不動點。為了證明第一個命題，我們注意到對於任何的
，都有：
由於當
時，
，因此根據夾擠定理，可知
。這表明當時，
。但當時，
，且極限是唯一的；因此，一定是
的情況。為了證明第二個命題，我們假設y也滿足Ty=y。那么：
由於
，因此上式意味著
，這表明
，於是根據正定性，
，定理得證。逆定理
巴拿赫不動點定理有許多逆定理，以下的一個是CzesławBessaga在1959年發現的：設f:X→X為一個抽象集合的映射，使得每一個疊代
都有一個唯一的不動點。設q為一個實數，0<q<1。那么存在X上的一個完備度量，使得f是壓縮映射，且q是壓縮常數。