面積求解
圓面積怎樣求圓面積？這已是一個非常簡單的問題，用公式一算，結論就出來了。可是你可知道這個公式是怎樣得來的嗎？在過去漫長的年代裡，人們為了研究和解決這個問題，不知遇到了多少困苦，花費了多少精力和時間。
在平面圖形中，以長方形的面積最容易計算了。用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地面，如果橫向用八塊，縱向用六塊，那一共就用了8×6=48塊磚。所以求長方形面積的公式是：長×寬。
求平行四邊形的面積，可以用割補的方法，把它變成一個與它面積相等的長方形。長方形的長和寬，就是平行四邊形的底和高。所以求平行四邊形面積的公式是：底×高。
求三角形的面積，可以對接上一個和它全等的三角形，成為一個平行四邊形。這樣，三角形的面積，就等於和它同底同高的平行四邊形面積的一半。因此，求三角形面積的公式是：底×高÷2
任何一個多邊形，因為可以分割成若干個三角形，所以它的面積，就等於這些三角形面積的和。
歷史難題
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，占地52900平方米。它的底座邊長和角度計算十分準確，誤差很小，可見當時測算大面積的技術水平已經很高。
圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。怎樣求圓的面積，是數學對人類智慧的一次考驗。
也許你會想，既然正方形的面積那么容易求，我們只要想辦法做出一個正方形，使它的面積恰好等於圓面積就行了。是啊，這樣的確很好，但是怎樣才能做出這樣的正方形呢？
你知道古代三大幾何難題嗎？其中的一個，就是剛才講到的化圓為方。這個起源於古希臘的幾何作圖題，在2000多年裡，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。
解法探究
古代數學家的貢獻
我國古代的數學家祖沖之，從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的面積去逼近圓面積。
古希臘的數學家，從圓內接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從里外兩個方面去逼近圓面積。
古印度的數學家，採用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。
眾多的古代數學家煞費苦心，巧妙構思，為求圓面積作出了十分寶貴的貢獻。為後人解決這個問題開闢了道路。
克卜勒的求解方法
16世紀的德國天文學家克卜勒，是一個愛觀察、肯動腦筋的人。他把丹麥天文學家第谷遺留下來的大量天文觀測資料，認真地進行整理分析，提出了著名的“克卜勒三定律”。克卜勒第一次告訴人們，地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽位於其中的一個焦點上。
提出圓面積公式
克卜勒當過數學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，只要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。
克卜勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。
圓面積等於無窮多個小扇形面積的和，所以
在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，所以有
這就是我們所熟悉的圓面積公式。
克卜勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他將自己創造的這種求圓面積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。
克卜勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，並果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價克卜勒的工作，稱讚這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。
新的理論
一種新的理論，在開始的時候很難十全十美。克卜勒創造的求圓面積的新方法，引起了一些人的懷疑。他們問道：克卜勒分割出來的無窮多個小扇形，它的面積究竟等於不等於零？如果等於零，半徑OA和半徑OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客觀存在的面積不等於零，小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等。克卜勒把兩者看作相等就不對了。
面對別人提出的問題，克卜勒自己也解釋不清。
卡瓦利里的求解方法
他是義大利物理學家伽利略的學生，他研究了克卜勒求圓面積方法存在的問題。
卡瓦利里想，克卜勒把圓分成無窮多個小扇形，這每個小扇形的面積到底等不等於圓面積，就不好確定了。但是，只要小扇形還是圖形，它是可以再分的呀。克卜勒為什麼不再繼續分下去了呢？要是真的再細分下去，那分到什麼程度為止呢？這些問題，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，當卡瓦利里的目光落在自己的衣服上時，他忽然靈機一動：唉，布不是可以看成為面積嘛！布是由棉線織成的，要是把布拆開的話，拆到棉線就為止了。我們要是把面積像布一樣拆開，拆到哪兒為止呢？應該拆到直線為止。幾何學規定直線沒有寬度，把面積分到直線就應該不能再分了。於是，他把不能再細分的東西叫做“不可分量”。棉線是布的不可分量，直線是平面面積的不可分量。
卡瓦利里還進一步研究了體積的分割問題。他想，可以把長方體看成為一本書，組成書的每一頁紙，應該是書的不可分量。這樣，平面就應該是長方體體積的不可分量。幾何學規定平面是沒有薄厚的，這樣也是有道理的。
新的求解方法
卡瓦利里緊緊抓住自己的想法，反覆琢磨，提出了求圓面積和體積的新方法。
1635年，當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候，義大利出版了卡瓦利里的《不可分量幾何學》。在這本書中，卡瓦利里把點、線、面，分別看成是直線、平面、立體的不可分量；把直線看成是點的總和，把平面看成是直線的總和，把立體看成是平面的總和。
卡瓦利里還根據不可分量的方法指出，兩本書的外形雖然不一樣，但是，只要頁數相同，薄厚相同，而且每一頁的面積也相等，那么，這兩本書的體積就應該相等。他認為這個道理，適用於所有的立體，並且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的“卡瓦利里原理。”
事實上，最先提出這個原理的，是我國數學家祖暅。比卡瓦利里早1000多年，所以我們叫它“祖暅原理”。
在一個圓里畫一個最大的正方形，正方形占圓面積的約63.7%，在一個圓外畫一個最小的正方形，正方形面積是圓形面積的157%。
公式推導
圓周長公式的推導
圓周長（c）：圓的直徑（D），那圓的周長（c）除以圓的直徑（D）等於π，那利用乘法的意義，就等於 π乘圓的直徑（D）等於圓的周長（C），C=πd。而同圓的直徑（D）是圓的半徑（r）的兩倍，所以就圓的周長（c）等於2乘以π乘以圓的半徑（r），C=2πr。
圓面積公式的推導
把圓平均分成若干份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等於圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）的平方乘以π，S=πrr。
