定義
如果一個集合與正整數集合之間存在一一對應，則這個集合稱為可列集（或可數集）； 也就是說， 存在一個從該集合到正整數集合的雙射（也稱可逆映射）。
種類
自然數集、有理數集、代數數集都是可列集。
實數集、複數集、直線點集、 平麵點集都是不可列集（或不可數集）。
可列集是最小的無限集； 它的冪集是不可數集--和實數集存在一一對應（也稱同勢）。 所謂冪集， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）構成的集族。
舉例證明
證明：有理數集Q是可列集
證 由於區間（−∞,+∞）可以表示為可列個區間（n,n+1](n∈Z)的並，我們只須證明區間（0,1]中的有理數是可列集即可。
由於區間（0,1]中的有理數可惟一地表示為既約分數q/p，其中p∈N+，q∈N+，q≤p，並且p，q互質。我們按下列方式排列這些有理數：
分母p=1的既約分數只有一個： x=1;
分母p=2的既約分數也只有一個：x =1/2；
分母p=3的既約分數有兩個： x=1/3, x =2/3；
分母p=4的既約分數也只有兩個：x=1/4，x=3/4；
... ...
一般地，分母p=n的既約分數至多不超過n-1個，可將它們記為xxx
於是區間（0,1]中的有理數全體可以排成
xxxxxxxxx
這就證明了有理數Q是可列集。
可以證明，可列集有下列重要性質：
1、 有限個可列集的並是可列集。
2、 可列個可列集的並是可列集。
3、 任何可列集的的無窮子集是可列集。
4、 任何無窮集都包含一個可列的真子集。
5、 一個無窮集並上一個可列集還與其自身等勢 。
6、 可列集的冪集與實數集等勢。
猜想和悖論
康托第一個認真研究了無限集合， 分清了可列集和不可數集的區別， 並用對角線法證明了實數集不是可列集。此外，康托指出了冪集的勢總是嚴格大於原集合。由此結論導致了康托猜想（即連續統假設）和康托悖論。
康托猜想
不存在一個集合， 它的勢嚴格大於可列集的勢， 同時嚴格小於實數集的勢。
邏輯學家歌德爾證明了這個連續統假設是不能被證明的，也不能被證偽--就是說不能從現有的數學公理體系推演出該結論或者否定該結論。
康托悖論
考慮所有的集合組成的最大的集族， 這個集族的冪集當然也是集合， 所以本身也是該集合的一部分， 從而它的勢應該不超過原集合的勢；但是另一方面， 冪集的勢又嚴格大於原集合的勢， 從而導致矛盾。
羅素首先意識到集合的概念存在問題。 他提出所謂的類型論， 指出有一類“集合”並不是真正的集合， 而是所謂的“類”，集合本身是不能包含自身的；“類”卻可以。 從這個角度出發，就可以解釋上述的悖論。
等勢概念
定義：集合A與集合B等勢(等基數)，若且唯若，A與B之間存在雙射（一一對應、可逆映射）。
在此意義下，刻畫了兩個無窮集合比較“多少”的一種辦法。但這裡的“多少”概念只是一種直觀的解釋，已經和有限集合比較多少的情況發生了變化。
在有限集合中，一個集合不可能與其真子集等勢。但無限集合的比較，則不同。比如，整數集和偶數集之間，可以通過雙射f(n)=2n 建立一一對應的關係。所以整數集和偶數集是等勢的，雖然偶數集是整數集的真子集。集合論認為，這種與其某一真子集等勢的性質，恰好反映了無窮集合的本質，反映出了有限集和無窮集之間的一個重大區別。
康托爾對角線
證明實數區間[0,1]中所有的實數組成的集合是不可列集。
其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可列的。反證法，如果它是可列的，說明其中所有的實數均可排列成一數列t,t,...,t,...，只有這樣，它才能一一對應於自然數集。好，這時我們將(0,1]中的實數用十進制的無限小數表示：
t=0.ttt...t...
t=0.ttt...t...
...
t=0. ttt...t...
...
其中所有的t都是0～9這十個數字中的某一個。
但是現在我們可以構造一個小數a=0.aaa...a...，任意的a也都是0～9這十個數字中的某一個，但我們讓每個a都不等於上述實數列中的t，也就是a的第i位的數字跟t的第i個數字不同。這是可行的，因為我們用的是十進制小數，不同於t的還剩9個不同的數字可供a選擇。
當我們構造好了這樣的一個小數之後，我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾，你說已經把所有小數都列出來了，但是我卻發現至少我構造的這個小數，你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢，把我這個也補充進去，但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以，只能說明實數是無法跟可列集形成一一對應的，也就是前面的假設是錯誤的。
因此[0,1]區間的實數不是可列集。同樣，取掉0，1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可列集。
