公式推導
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法分部積分法：設 及 是兩個關於 的函式，各自具有連續導數 及 ，且不定積分 存在，按照乘積函式求微分法則，則有 存在，且得 分部積分公式如下
分部積分法證明：由
分部積分法或
分部積分法對上式兩邊求不定積分，即得 分部積分公式，也將其簡寫為
分部積分法
分部積分法
分部積分法如果將 和 用微分形式寫出，則亦可得出
分部積分法
分部積分法
分部積分法上兩式就把 的積分轉化為 的積分，即將複雜的被積函式簡單化。
分部積分法例如，要求 ，則依分部積分法則，令
分部積分法如此
分部積分法則按上述公式有
分部積分法四種典型模式
分部積分法 分部積分法 分部積分法 分部積分法
分部積分法 分部積分法 分部積分法 分部積分法 分部積分法 分部積分法一般地，從要求的積分式中將 湊成 是容易的，但通常有原則可依，也就是說不當的分部變換不僅不會使被積分式得到精簡，而且可能會更麻煩。分部積分法最重要之處就在於準確地選取 ，因為一旦 確定，則公式中右邊第二項 中的 也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取 則要依 的複雜程度決定，也就是說，選取的 一定要使 比之前的形式更簡單或更有利於求得積分。依照經驗，可以得到下面四種典型的模式。 記憶模式口訣：反（函式）對（數函式）冪（函式）三（角函式）指（數函式）。
模式一
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法通過對 求微分後， 中的 比 更加簡潔，而 與 的類型相似或複雜程度相當。
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法例如，對於形如 的不定積分（其中 為 次多項式），由於對多項式求微分可以降次，且三角函式或指函式的積分則較容易求得，所以可以令 ，而將另一個函式看成 通過分部求得積分。
分部積分法例如 求
分部積分法首先，
對該式第二項再按此模式進行分部積分，得
分部積分法
分部積分法故原式
模式二
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法 分部積分法
分部積分法
分部積分法 分部積分法通過對 求微分使得它的類型與 的類型相同或相近，然後將它們作為一個統一的函式來處理。例如對形如 等的積分，總是令 ，則 則為一個 次的多項式，另一個函式（ 等）看成 。通過分部積分，很容易求出不定積分。
分部積分法例如，求
分部積分法而該式第二項為
分部積分法
分部積分法故原積分式
模式三
分部積分法 分部積分法利用有些函式經一次或二次求微分後不變的性質，通過一次或二次分部積分後，使等式右端再次產生 ，只要它的係數不為1，就可以利用解方程的方法求出原積分 。
分部積分法
分部積分法例如，對於積分 和
按法則對他們進行分部積分得
分部積分法
分部積分法這樣，所求積分均由另一個積分所表示出來，將這兩式相加和相減（即解方程）得到所求積分表達式
分部積分法以及
分部積分法這兩個通用表達式就可以求出該類型的所有積分式，比如
分部積分法模式四
分部積分法
分部積分法 分部積分法對某些形如 的不定積分，利用分部積分可降低 的次數，求得遞推公式，然後再次利用遞推公式，求出 。
分部積分法例如，對於積分
分部積分法
分部積分法當 時，
分部積分法
分部積分法當 時，
而該式的第二項又可變換為
分部積分法將其帶入上式，則得到
分部積分法故
分部積分法最後，得到統一的遞推關係式
分部積分法
分部積分法定積分
與不定積分的分部積分法一樣，可得
分部積分法
分部積分法簡寫為
分部積分法例如
示例
分部積分法例1：
例2 ：
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法
分部積分法回代即可得到 的值。
