分布參數的假設檢驗
總體分布的χ2檢驗
學習目標
1.假設檢驗,原假設,備擇假設
2.兩類錯誤
3.顯著水平,拒絕域
4.正態總體均值或方差的假設檢驗
常把一個要檢驗的假設記作H0,稱為原假設
(或零假設)(nullhypothesis),與H0對立的假
設記作H1,稱為備擇假設(alternativehypothesis).
例某工廠在正常情況下生產的電燈泡的壽命
X(小時)~N(1600,802).從該工廠生產的一批燈
泡中隨機抽取10個燈泡,測得它們壽命為:
1450,1480,1640,1610.1500,
1600,1420,1530,1700.1550
如果標準差不變,試檢驗這批燈泡的壽命
均值μ(1)也是1600,(2)大於1600,(3)小於
1600.
記作:
⑴在原假設為真時,決定放棄原假設,
稱為第一類錯誤,其出現的機率通常記作α;
⑵在原假設不真時,決定接受原假設,
稱為第二類錯誤,其出現的機率通常記作β.
通常只限定犯第一類錯誤的最大機率α,
不考慮犯第二類錯誤的機率β.這樣的假設
檢驗又稱為顯著性檢驗,
機率α稱為顯著性水平.
當H0為μ=μ0,假設檢驗的結果是放棄H0時,
如果α=0.05,則稱μ與μ0有顯著的差異或
差異顯著;如果水平α=0.01,則稱μ與μ0有
極顯著的差異或差異極顯著.
假設檢驗的步驟如下:
⑴提出H0和H1;
⑵指定機率α;
⑶尋求統計量g(X1,X2,…,Xn)及其分布;
⑸當統計量的觀測值g(x1,x2,…,xn)滿足
不等式時放棄H0,否則接受H0.
⑷在H0為真時構造小機率事件並推導
g()所滿足的不等式;
習慣上稱觀測值g(x1,x2,…,xn)所
滿足的不等式為假設檢驗方案,稱這個不等式所確定的觀測值g的取值範圍為假設檢驗的放棄域.
放棄域由兩個區間構成的假設檢
驗被形容為雙側檢驗,放棄域由一個
區間構成的假設檢驗被形容為單側檢
驗.
H0為相等,H1為不相等的假設檢驗
為雙側檢驗,觀測值g()較大或較小時
放棄H0;
H0為相等,H1為大於的假設檢驗為單
側檢驗,觀測值g()較大時放棄H0;
H0為相等,H1為小於的假設檢驗為
單側檢驗,觀測值g()較小時放棄H0.
2.一個正態總體均值或方差的假設檢驗
為,修正方差的觀測值為s*2,離均差
平方和的觀測值為ss,顯著性水平為α,
則有:
設總體X服從N(μ,σ2)分布,X的一個
樣本為X1,X2,…,Xn,均值為,修正
方差為S*2,離均差平方和為SS,樣本
的觀測值為x1,x2,…,xn,均值的觀測值
結論1)若σ2已知,對於給定的數值μ0,
作一個正態總體均值的假設檢驗時,
H0為μ=μ0,而H1分別為
①μ≠μ0,②μ>μ0,③μμ0,③μ37.72
計算出u=1.818,
例《品種提純》一個混雜的小麥品種,
其株高的標準差為14cm,經提純後隨機地
抽出10株,它們的株高(單位:cm)為90,
105,101,95,100,100,101,105,93,97,試
檢驗提純後的群體是否比原來的群體較為
整齊,α=0.05.
解:提純後的群體應該比原來的群體
較為整齊,故設
H0為σ2=196,H1為σ2μ2,③μ1μ2,③μ1<μ2.
可設
它的觀測值
當H0為真時,
結論6)若μ1和μ2未知,作兩個正態總體
方差的假設檢驗時,
可設
它的觀測值
當H0為真時,
例1.6《作物裁培》根據資料測算,某品種
小麥產量(單位:Kg/m2)的σ2=0.4.收穫前
在麥田的四周取12個樣點,得到產量的均值
=1.2,在麥田的中心取8個樣點,得到產量
的均值=1.4,試檢驗麥田四周及中心處每
平方米產量是否有顯著的差異(α=0.05)
解:因為要檢驗麥田四周及中心處每平方
米產量是否有顯著的差異,所以設
H0為μ1=μ2,H1為μ1≠μ2,
由α查標準常態分配的分布函式值表得到
u0.975=1.96,|u|<1.96,因此應該接受H0,
認為μ1=μ2,即麥田四周及中心處每平
方米產量沒有顯著的差異.
例1.8《產量調查》調查某地每畝30萬苗
和50萬苗的稻田各5塊,分別得到畝產量800,
840,870,920,850和900,880,890,890,840,
試檢驗兩種密度的畝產量是否有顯著的差異
解:本例要檢驗μ1≠μ2,
例中未給出顯著性水平,可認為α=0.05.設
根據容量為n=m=5的兩個樣本觀測值算出
則由α查F分布的分位數表得到
F0.975(4,4)=9.60,
下面檢驗μ1≠μ2,設
H0為μ1=μ2,H1為μ1≠μ2,
根據容量為n=m=5的兩個樣本觀測值算出
即兩種密度的畝產量沒有顯著的差異.
結論7)一個總體百分比的假設檢驗
4*.百分比的假設檢驗
可設
它的觀測值
當H0為真時,
例1.10《遺傳試驗》以紫花和白花的大豆
品種雜交,在F2代共得到289株,其中紫
花208株,白花81株,試檢驗紫花與白花
所占比率為3:1,α=0.05.
由α查標準常態分配的分布函式值表得
因此應該接受H0,認為紫花與白花所占
比率為3:1.
結論8)兩個總體百分比的假設檢驗
可設
它的觀測值
當H0為真時,
例1.11《病害調查》調查低洼地小麥
378株,其中有鏽病株355株,調查高
坡地小麥396株,其中有鏽病株346株,
試檢驗兩塊小麥地的鏽病率有無顯著
的差異(α為0.05)
根據容量為n=378和m=396的樣本觀測值
由α查標準常態分配的分布函式值表得到
例1.12《殺蟲效果》殺蟲劑A在1000隻
害蟲中殺死657隻,殺蟲劑B在1000隻
害蟲中殺死728隻,試檢驗殺蟲劑B的
有效率是否明顯地高於殺蟲劑A(α=
0.05)
解:
根據容量為n=m=1000的樣本觀測值
由α查標準常態分配的分布函式值表得到
5.多個總體同方差的假設檢驗
設有k個總體,其方差分別為
其樣本容量為n1,n2,…,nk,樣本修正方差
的觀測值為
離均差平方和的觀測值為SS1,SS2,…,ssk
所用的檢驗方法由Bartlett提出,通常稱之
為方差齊性或同質性檢驗,所用的統計量
的觀測值是:
§7.2總體分布的假設檢驗
3.總體分布的χ2檢驗
對總體分布作χ2檢驗的步驟如下:
①設H0為總體X服從某個指定的分布;
②將隨機變數X的取值範圍劃分為k個互不
相交的區間或區域Di(i=1至k);
③由樣本的觀測值求隨機變數X在各個
Di中取值的觀測頻數ni(i=1至k);
④按所指定的分布求隨機變數X在各個
Di中取值的機率pi(i=1至k),如果所指
定的分布中有未知的參數時,可先用極
大似然法求出各個未知參數的估計量後
再求上述各個機率的估計值;
⑤根據樣本容量n及機率pi或估計值
求隨機變數X在各個Di中取值的理論頻數
或理論頻數的估計值n(i=1至k);
⑥計算χ2統計量的觀測值
當被估計的未知參數有l個,
作χ2檢驗時要求樣本容量n≥50.
k的大小沒有嚴格的規定,通常取
5≤k≤16.
一般限制np或n的值大於5,如果
出現不大於5的情形,應該與鄰近的區
間或區域合併.
例2.6《丟擲骰子》將一粒均勻的骰子
丟擲100次,1點朝上13次,2點朝上14
次,3點朝上20次,4點朝上17次,5點
朝上15次,6點朝上21次,試檢驗這粒
骰子是否均勻.
解:如果這粒骰子是均勻的,則1至6
點朝上的次數服從均勻分布,即
P{1點朝上}=P{2點朝上}=P{3點朝上}
=P{4點朝上}=P{5點朝上}=P{6點朝上}
=1/6,
根據所給的觀測值,
因此接受χ2檢驗的原假設,認為這粒骰子
是均勻的.
例2.7《放射研究》用計數器每隔一定
時間觀測一次試驗鈾所放射的α粒子數
x,共100次,結果有1個x=0,5個x=1,
16個x=2,17個x=3,26個x=4,11個x=5,
9個x=6,9個x=7,2個x=8,1個x=9,
2個x=10,1個x=11,試檢驗總體是否服
從P(λ)分布.
解:如果總體是服從P(λ)分布,則
—————————————————————
x01234567
nx151617261199
n13.2318.5219.4416.3311.436.86
x891011
nx2121
n3.601.680.710.21
6.26
查χ2分布的分位數表得到
認為總體服從P(λ)分布.
