光滑函式

光滑函式

光滑函式(smooth function)是指在其定義域內無窮階數連續可導的函式。

定義

光滑函式 光滑函式
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光滑函式 光滑函式

光滑函式(smooth function)在數學中特指無窮可導的函式。若一函式是連續的,則稱其為函式;若函式存在連續導函式,即連續可導,則被稱為函式;若一函式n階可導,並且其n階導函式連續,則為函式。而光滑函式是對所有n都屬於的函式,特稱其為光滑函式。

分類

1.分段光滑函式

若一元函式在閉區間上分段連續,至多除有限個點之外可微且導數連續,在這有限個點存在有限的廣義單側連續導數,則一元函式稱為閉區間上的分段光滑函式。若f定義在無界區間上,而在此區間的任何閉子區間上分段光滑,則此一元函式稱為在該無界區間上分段光滑。分段光滑函式是分段可微的。

2.部分光滑函式

通俗的講,部分光滑函式是一個全局非光滑的函式(globally non-smooth),然而沿著某一方向函式是光滑的,甚至2階可導,然後“垂直”(transversal)於該方向,函式依舊非光滑。

實現

例如,以自然對數為底的指數函式,即y=e^x顯然是光滑的,因為它的導數就是其本身。

構造在給定區間外為零但在區間內非零的光滑函式經常很有用。這是可以達到的;另一方面來講,一個冪級數不可能有這樣的屬性。這表明光滑和解析函式之間存在著巨大的鴻溝;所以泰勒定理一般不可以套用到展開光滑函式。

流形的光滑映射

光滑流形之間的光滑映射可以用坐標圖的方式來定義。因為函式的光滑性的概念和特定的坐標圖的選取無關。這樣的映射有一個一階導數,定義在切向量上;它給出了在切叢的級別上的對應纖維間的線性映射。

在需要討論所有無窮可微函式的集合時,以及該空間的元素在微分和積分、求和、取極限時的行為時,人們發現所有光滑函式的空間不是一個合適的選擇,因為它在這些操作下不是完備和閉合的。對於這個情況的一個正確處理,我們可以採用索伯列夫空間(Sobolev space)的概念。

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