原序
昔在包犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術以合六爻之變。暨於黃帝神而化之,引而伸之,於是建曆紀,協律呂,用稽道原,然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數,其詳未之聞也。按周公制禮而有九數,九數之流,則九章是矣。往者暴秦焚書,經術散壞。自時厥後,漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱刪補。故校其目則與古或異,而所論者多近語也。徽幼習九章,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術之根源,探賾之暇,遂悟其意。是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注。事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本乾者,知發其一端而已。又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣。且算在六藝,古者以賓興賢能,教習國子。雖曰九數,其能窮纖入微,探測無方。至於以法相傳,亦猶規矩度量可得而共,非特難為也。當今好之者寡,故世雖多通才達學,而未必能綜於此耳。周官大司徒職,夏至日中立八尺之表,其景尺有五寸,謂之地中。說雲,南戴日下萬五千里。夫云爾者,以術推之。按九章立四表望遠及因木望山之術,皆端旁互見,無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名,原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差,句股則必以重差為率,故曰重差也。立兩表於洛陽之城,令高八尺。南北各盡平地,同日度其正中之景。以景差為法,表高乘表間為實,實如法而一,所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表間為實,實如法而一,即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股,為之求弦,即日去人也。以徑寸之筩南望日,日滿筩空,則定筩之長短以為股率,以筩徑為句率,日去人之數為大股,大股之句即日徑也。雖天圓穹之象猶曰可度,又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物,考論厥數,載之於志,以闡世術之美。輒造重差,並為註解,以究古人之意,綴於句股之下。度高者重表,測深者累矩,孤離者三望,離而又旁求者四望。觸類而長之,則雖幽遐詭伏,靡所不入。博物君子,詳而覽焉。理論體系
①在數系理論方面
用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算,以及繁分數化簡等的運算法則;在開方術的注釋中,他從開方不盡的意義出發,論述了無理方根的存在,並引進了新數,創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。
②在籌式演算理論方面
先給率以比較明確的定義,又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎,建立了數與式運算的統一的理論基礎,他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”,即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。
③在勾股理論方面
逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理,建立了相似勾股形理論,發展了勾股測量術,通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析,形成了中國特色的相似理論。
④在面積與體積理論方面
用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理,並解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。這些方面的理論價值至今仍閃爍著餘輝。在繼承的基礎上提出了自己的創見。
與西方數學
①割圓術與圓周率
他在《九章算術·圓田術》注中,用割圓術證明了圓面積的精確公式,並給出了計算圓周率的科學方法。他首先從圓內接六邊形開始割圓,每次邊數倍增,算到192邊形的面積,得到π=157/50=3.14,又算到3072邊形的面積,得到π=3927/1250=3.1416,稱為“徽率”。
②劉徽原理
在《九章算術·陽馬術》注中,他在用無限分割的方法解決錐體體積時,提出了關於多面體體積計算的劉徽原理。
③“牟合方蓋”說
在《九章算術·開立圓術》注中,他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性,並引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型。“牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分。
④方程新術
在《九章算術·方程術》注中,他提出了解線性方程組的新方法,運用了比率算法的思想。
⑤重差術
在白撰《海島算經》中,他提出了重差術,採用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法,使重差術由兩次測望,發展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀,歐洲在15~16世紀才開始研究兩次測望的問題。
作者簡介
作者:劉徽
劉徽(約公元225年—295年),漢族,山東臨淄人,魏晉期間偉大的數學家,中國古典數學理論的奠基者之一。是中國數學史上一個非常偉大的數學家,他的傑作《九章算術注》和《海島算經》,是中國最寶貴的數學遺產劉徽思想敏捷,方法靈活,既提倡推理又主張直觀.他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人.劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生.他雖然地位低下,但人格高尚.他不是沽名釣譽的庸人,而是學而不厭的偉人,他給我們中華民族留下了寶貴的財富。