一階偏微分方程

一階偏微分方程是最簡單的一類偏微分方程。一個未知函式u(x)=u(x1,x2,…, xn)所適合的一組一階偏微分方程。

一階偏微分方程

正文

最簡單的一類偏微分方程。一個未知函式u(x)=u(x1,x2,…, xn)所適合的一組一階偏微分方程即

, (1)

式中(Rn之開集)，u是實值函式，。適合(1)的函式u稱為其解。單個擬線性方程

　(2)

是式(1)的重要特例。解u=u(x)定義了D×R中一個曲面，稱為(1)的積分曲面，是其上一點(x,u)處的法線方向數，(α1，α2，…，αn,b))則定義一個方向場,稱為特徵方向場。式(2)表明積分曲面在其各點上均與該方向場相切。特徵方向場的積分曲線，稱為(2)的特徵曲線。它們是常微分方程組(特徵方程)

　(3)

的積分曲線。由上所述,可見式(2)的積分曲面是由式(3)的積分曲線織成的。反之,若一曲面u=u(x)是由(3)之積分曲線織成的，則必為式(2)的積分曲面。因此式(3)的討論對研究偏微分方程(2)有特別的重要意義。
式(2)的定解問題中，最重要的是柯西問題，即在U中給定一個n－1維子流形 у及其上的函式φ(x)，要求式(2)的解u=u(x)滿足以下的附加條件（初始條件）：

。 　(4)

從幾何上看，集是U×R中一個給定的n－1維子流形，而條件(4)即要求積分曲線(它是U×R中的一個n維子流形)通過Γ。
柯西問題的解的局部存在的條件從幾何上看是很清楚的：若在(x0, u0)∈Γ附近,則在該點附近特徵向量場微分同胚於平行向量場，特徵曲線族則微分同胚於平行直線族。如果Γ在(x0,u0)附近橫截（即不平行）於該平行直線族,就可以以Γ為底,以該平行直線為“母線”作一“柱面”。它就是所求的積分曲面，亦即柯西問題的解。
對一般的單個一階非線性偏微分方程

， 　(5)

則應以代替上述的U×R。對於積分曲面u=u(x),它在(x,u(x))處的法線方向由所確定，因此(x,u,p)決定了一個過(x,u)的以為法線的超平面,即過該點的積分曲面的切超平面。於是，在U×R中來看,｛(x, u,p)｝給出一個超平面場，每一個這樣的超平面稱為過（x, u）的接觸元素。對於給定的(x, u)，適合方程(5)的p不是惟一的，從而有一個接觸元素族。它們的包絡是一個以(x, u)為頂點的錐,稱為蒙日錐。方程(5)的積分曲面在各點均切於過該點的蒙日錐。
對於擬線性方程(2),蒙日錐蛻化為過（x，u）的以為方向的軸。
積分曲面既切於蒙日錐，則必沿某一母線切於它。這條母線的方向給出了積分曲面上的一個方向場。對於方程(2)來看,它就是特徵方向場。所以在一般的非線性方程(5)，也稱它為特徵方向場,其積分曲線也稱為方程(5)的特徵曲線。積分曲面仍由特徵曲線織成。
但是，與方程(2)也有所不同,即現在必須在U×R×Rn中來考慮特徵方向場，從而可以得到如下的常微分方程組

， (6)

(7)

(8)

解出這個方程組將得到一個特徵帶，它在U×R中的投影則稱為方程(5)的特徵曲線。特徵帶是一個在 U×R×Rn中的概念。
解柯西問題的特徵線法　在解柯西問題(4)時，將у寫成參數形式

(9)

(10)

然而，以它為初始條件還不能解出特徵帶的方程組，還需要有pj所適合的初始條件。
對於擬線性方程(2)，以(9)、(10)為初始條件解特徵方程組(3)，可得

(11)

(12)

令

若在t=0時，即在у上，Δ|t=0≠0,則可以在|t|充分小時即在у附近由(11)解出為 (x1,x2,…, xn)的函式，代入(12)即得柯西問題的解。在以上討論中，條件

(13)

極為重要。它在幾何上表示特徵線橫截於Γ。沒有這種橫截性，一般說來特徵曲線不能織成積分曲面，然而若仍可能有解，那么解稱為奇異解。條件(13)稱為特徵條件。
對於非線性偏微分方程(5),需要解出特徵帶的方程組(6)、(7)、(8)。這時需要 pj所適合的初始條件。很容易看到，在t=0時，pj應適合以下條件

， 　(14)

。 　(15)

(14)、(15)共有n個方程,它們稱為帶條件。為了能從其中解出pj，又需要在t=0時

(16)

在方程(2)的特例下,它就是式(13)。所以式(16)也稱為特徵條件。
若帶條件和特徵條件得以滿足，就將得出在 t=0時xj、u和pj所適合的初始條件。於是可以得到

， (17)

， (18)

， (19)

利用特徵條件,可以從式(17)中解出為(x1,x2,…,xn)的函式，代入式(18)即得u=u(x)為柯西問題的解。代入式(19)得pj=pj(x),可以證明恰好有。
拉格朗日－查皮特方法　求解柯西問題(5)、(4)的另一方法,是求(5)的含有n個參數α=( α1, α2,…, αn)的解u=u(x,α)。它稱為(5)的完全積分。
將(4)所定義的子流形Γ局部地表為

。

再取α=α(s)使u=u(x,α(s))經過(x(s),u(s))而且在該點切於Γ，即有

這一族解的包絡仍是(5)的積分曲面,而且通過Γ，亦即所求柯西問題的解。於是，將問題歸結為求(5)的含n-1個參數s=(s1,s2,…,sn-1)的解u(x,α(s))，它稱為(5)的通積分。
若將完全積分對n個α求包絡，即由

中消去α，還可得到方程(5)的另一種解，稱為奇異積分。
於是問題歸結為如何求完全積分。為此考慮一個與之相關的問題：求函式u=u(x)使之滿足一組偏微分方程

(20)

因為方程個數超過未知數個數，故(20)稱為超定方程組。超定方程組有解，需有一定條件稱為可積性條件。對於(20)，可積性條件為

(21)

(Fj, Fj)稱為泊松括弧。若一個方程組適合(21),則稱之為對合方程組。
方程(5)可以化為不顯含u的情形。因為若將u=u(x)寫為隱函式v(x,u)=с，而以v為新的未知函式,則(5)成為。若視u為自變數則未知函式v不顯現。因此可以限於求解以下形式的方程

　(22)

對(22)補充以n-1個新的方程

(23)

式中αj為參數。可以適當取F2,F3,…,Fn使(22)、(23)成為對合方程組。再從(22)、(23)中解出： (其中含常數α2,α3,…,αn)，即可得(5)的含有n個常數的解（即完全積分）

以上方法稱為拉格朗日-查皮特方法。
普法夫方程組、費羅貝尼烏斯條件 在 U嶅Rn中若給定了一個充分光滑的向量場,則過U之每一點必有其惟一的積分曲線。若給定r(1<r<n)個光滑向量場,則不一定經過每一點都有 r維子流形使得在其各點上均與這些向量場相切（也不一定能找到 n-1維子流形使得在其各點上均與這些向量場相切）。若有這樣的 r維子流形存在，就說這些向量場可積，該流形稱為其積分流形。
求積分流形發生障礙的幾何原因，可由下例看出。設在R3中給出一個平面場（相當於兩個向量場），作柱面如圖，則該平面場在柱面上決定一個向量場。若原平面場可積而有積分曲面存在，則積分曲面與柱面相截將給出柱面上的向量場的封閉積分曲線。但是柱面上的向量場不一定有封閉的積分曲面存在。
上述問題稍加改述：求一個超曲面u=u(x)（而不只是r維子流形）與r個向量場相切，即

， (24)

這是一個超定方程組。前述拉格朗日－查皮特方法中已遇到這種問題。
式（24）規定出 r個一階偏微分運算元(亦即向量場)。它們的交換子仍是一階偏微分運算元：

弗羅貝尼烏斯定理指出：超定方程組(24)可積的充分必要條件是存在函式使得滿足式(25)的向量場x1,x2,…,xr稱為對合的。
一階偏微分方程的幾何理論有悠久的歷史淵源，以後經過É.(-J.)嘉當等人的發展,在幾何學、力學和物理學中都有重大的意義。

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