簡介
龐加萊猜想“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”
簡單的說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球 。
後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。
解釋
簡單解釋
每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。
類比舉例
如果伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。因此說，蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是。
證明歷史
20世紀
龐加萊猜想這個問題曾經被擱置了很長時間，直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣布已經證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形實例，其原型現在稱為Whitehead流形。
1950和1960年代，又有許多著名的數學家包括Bing, Haken, Moise和Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發現證明存在致命缺陷。
1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓撲的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名。但是，證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。
1981年美國數學家M.Freedman證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。
1982年，理察·漢密爾頓引入了“瑞奇流”的概念，並以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此後的幾年中，他進一步地發展了此方法，後來被佩雷爾曼的證明所使用。
21世紀
Clay Institute2005年終報告，封面有 Ricci 流方程及幾何化示意圖。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。
2006年6月3日，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平第一個給出了龐加萊猜想的完全證明。
2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
千禧年大獎
克萊數學研究所2000年將長期困擾數學界的7大難題定為“千禧年大獎問題”，為每個難題設立100萬美元獎金，“龐加萊猜想”是其中之一。
2002年和2003年，當時在聖彼得堡斯捷克洛夫數學學院任職的佩雷爾曼在網際網路上發表3篇論文，證明“龐加萊猜想”，因此在數學界聲名鵲起。
2010年7月，佩雷爾曼拒絕了克萊數學研究所獎勵他的100萬美元，這筆獎金是獎勵他對龐加萊猜想的證明。
意義
龐加萊猜想的證明意義重大，該猜想的證明，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識，對物理學和工程學都將產生深遠的影響，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響。
爭議
龐加萊猜想2003年春天，丘成桐召集中山大學的朱熹平和他的一個學生，里海大學的曹懷東，承擔解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學年訪問哈佛大學，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明並繼續與曹一起寫他們的文章。
2006年4月13日，《亞洲數學雜誌》編委會的31位數學家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內對丘打算在雜誌上發表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發表意見，題目是“瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論:龐加萊和幾何化猜想”。電子郵件沒有包含這篇文章，評審報告或者摘要。至少一位編委要求看這篇文章，卻被告知無法得到。4月16日曹收到了丘的郵件告訴他文章已被接受，摘要已在雜誌的網站公布。一個多月後，朱和曹的文章的題目在《亞洲數學雜誌》的網頁上被改成“龐加萊和幾何化猜想的一個完整證明：瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的套用”。摘要也被修改了，新加的一句話說，“這一證明應看作為瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的最高成就”。
其他的一些數學家不同意朱和曹對於龐加萊猜想做出重要新貢獻的說法。紐約州立大學石溪分校的幾何學家約翰・摩根（JohnMorgan）說：“佩雷爾曼已經做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什麼不同的事情。”2006年8月21日出版的《紐約客》雜誌刊發了一則關於龐加萊猜想的長篇報導。報導的第一作者是美國哥倫比亞大學新聞系教授娜莎(SylviaNasar)，曾經寫過《美麗心靈——納什傳》一書。娜莎通過一些數學家之口，將丘成桐描述為一個追名逐利之徒。紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森（MichaelAnderson）說，“丘成桐想要做幾何界的國王。他認為一切都應當出自於他。他不喜歡別人侵入他的領地”；麻省理工學院數學系教授斯德洛克(DanStrook)說，“他做過輝煌的事情，也為此得到了輝煌的榮譽。他拿到了所有的獎。在這個問題上他好像也想撈—把，我感到這有點卑劣……”在文章所配發的漫畫中，丘成桐正試圖從佩雷爾曼胸前摘走菲爾茲獎獎章。
娜莎及其合作者在2006年國際數學家大會召開之前遠赴聖彼得堡，終於採訪到了佩雷爾曼。當被問到是否讀過曹和朱的論文時，佩雷爾曼回答說，“我不清楚他們作出了什麼新貢獻，顯然，朱不是非常理解我的推理，然後重新進行了論證。”
最後朱熹平和曹懷東自己都承認他們沒有任何新的貢獻。12月3日，曹懷東和朱熹平在數學家們公布預印本的網站貼出一篇文章，題目是“龐加萊猜想與幾何化猜想的漢密爾頓–佩雷爾曼證明”。兩位作者在文章的引言中說：此文是對於他們在《亞洲數學雜誌》2006年第10卷第2期上發表的文章的修訂版。原來的文章的題目是“龐加萊與幾何化猜想的完整證明—瑞奇流的漢密爾頓–佩雷爾曼理論之套用”；而且在原來的摘要中稱他們“給出了龐加萊與幾何化猜想的完整證明”，這句話在新版本中被刪掉了。兩位作者特別指出：“我們改變了標題並對摘要作了修改是為了反映我們的觀點，即證明龐加萊猜想的全部功勞屬於漢密爾頓和佩雷爾。”
事實上，在這兩位作者宣布他們對於龐加萊猜想的證明沒有功勞之前，丘成桐教授已經在國外說過他們的工作沒有原創性。也就是說丘成桐自己已經否定了他在6月初對中國媒體講的話。
另註：此事件中《紐約客》的採訪對象與採訪發布後有多人表示娜莎及其合作者“歪曲事實”。包括理察·漢密爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。
紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森（MichaelAnderson）在事後的澄清信中明確表示：“我明確告訴過她（娜莎），當時我做出的評價不過是出於猜測，沒有事實根據。我從來沒有允許她這樣引用我的話”。
另一採訪對象麻省理工學院數學系教授斯德洛克(DanStrook)更是在澄清信中表示娜莎及《紐約客》的歪曲報導“讓我，以及其他接受娜莎採訪的人震驚和憤怒”。
斯德洛克更進一步表示：”娜莎在6月參加了丘擔任大會主席的國際超弦大會後，設法讓我相信她對丘成桐非常崇拜，詢問我對於他的活動的看法。我告訴她，我很仰慕丘在支持中國年輕數學家，以及改變中國學術界的腐朽現狀所作的努力。我告訴她，有時候我覺得他的處事方法值得商榷。特別地，我告訴她，至少在我眼中，丘不注意保護自己，過於特立獨行，而把自己暴露在敵人面前。如同她文章中所寫的那樣，她有意歪曲我的陳述，並且不可原諒地加以杜撰。與大多數人一樣，丘也有自己的缺點；但是大多數人無法比擬的是，他的高尚品德遠遠超過他的缺點。不幸的是，娜莎用我的話來支持她的反面論證。為此我無法原諒她。”
猜想比喻
龐加萊猜想我們想像這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想像一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。
我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們在這樣的球形房子裡。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裡。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。
好，接著我們繼續吹大這個氣球，一直吹。吹到最後會怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是氣球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。
我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。
看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。
佩雷爾曼
簡介
對於佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數學天才，出生於1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數學和物理。16歲時，他以優異的成績在1982年舉行的國際數學奧林匹克競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯。
從聖彼得堡大學獲得博士學位後，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學院聖彼得堡斯捷克洛夫數學研究所工作。上個世紀80年代末期，他曾到美國多所大學做博士後研究。之後在斯捷克洛夫數學研究所，繼續他的宇宙形狀證明工作。
證明龐加萊猜想關鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光於公眾視野，但他似乎並不喜歡與媒體打交道。據說，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對像《自然》《科學》這樣聲名顯赫雜誌的採訪，他也不屑一顧。
“我認為我所說的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣。”佩雷爾曼說，“我不願意說是因為我很看重自己的隱私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這裡沒有頂級機密，我只不過認為公眾對我沒有興趣。”他堅持自己不值得如此的關注，並表示對飛來的橫財沒有絲毫的興趣。
2003年，在發表了他的研究成果後不久，這位頗有隱者風範的大鬍子學者就從人們的視野中消失了。據說他和母親、妹妹一起住在聖彼得堡市郊的一所小房子裡，而且這個猶太人家庭很少對外開放。
我拒絕
國際數學家聯盟主席JohnBall曾秘密拜訪佩雷爾曼，他的唯一目的是說服佩雷爾曼接受將在8月份國際數學家大會上頒發的菲爾茲獎。誰都知道這是數學界的最高榮譽，此前共有44位數學家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽。然而面對Ball教授兩天共十個小時的勸說，佩雷爾曼的回答只是“我拒絕。”他解釋說：“如果我的證明是正確的，這種方式的承認是不必要的。”
美國的訪問生活
佩雷爾曼於1992年訪問美國，他的生活極為儉樸，只吃麵包，芝士和牛奶。在紐約大學他結識了年輕的中國數學家田剛，每星期他們一起開車去普林斯頓參加高等研究院的討論班。佩雷爾曼讀了哈密爾頓關於瑞奇流的文章，還在高等研究院聽了他給的一個報告。佩雷爾曼說：“你不用是大數學家也可以看出這對幾何化會有用。”
1993年佩雷爾曼開始在伯克萊進行為期兩年的訪問，適逢哈密爾頓來校作系列演講。一次報告後，哈密爾頓告訴佩雷爾曼他所遇到的最大的一些障礙，其中之一是叫做“雪茄”的一類奇點。佩雷爾曼意識到，他寫的一篇沒有發表的文章可能對解決這個問題有用，問哈密爾頓是否知道這篇文章。但哈密爾頓似乎沒有了解這篇文章的重要。
回到聖彼得堡
1994年，佩雷爾曼因寫出了幾篇非常有原創性的論文而被邀請在國際數學家大會作報告。好幾家大學，包括斯坦福和普林斯頓，邀請他去申請職位。但是他拒絕了一些學校提供的職位，於1995年夏天回到聖彼得堡。他說：“我意識到我在俄國會工作得更好。”斯坦福的Eliashberg說他回俄國是為了解決龐加萊猜想，佩雷爾曼對這種說法沒有表示反對。
在俄國他獨自工作，只通過英特網蒐集他所需要的知識。Gromov,一位曾與佩雷爾曼合作過的著名幾何學家說：“他不需要任何幫助，喜歡一個人工作。他使我想起牛頓，著迷於自己的想法，不去理睬別人的意見。”
1995年，佩雷爾曼發表了一篇文章，其中描述了他對於完成龐加萊猜想的證明的一些想法。哈密爾頓對我們說，從這篇文章中“我看不出他在1992年之後有任何進展。可能更早些時候他就被卡在哪兒了。”然而佩雷爾曼卻認為自己看到了解決問題的道路。
1996年，他給哈密爾頓寫了一封長信，描述了他的想法，寄希望於哈密爾頓會同他合作。但是，佩雷爾曼說，“他沒有回答。所以我決定自己乾。”
第一篇證明文章
2002年11月11日，佩雷爾曼在網路數學文庫arXiv 上張貼了他的第一篇文章，之後他通過電子郵件把文章摘要傳送給在美國的一些數學家，包括哈密爾頓，田剛和丘成桐。之前他沒有同任何人討論過這篇文章，因為“我不想同我不信任的人討論我的工作。”對於隨意地在網上發表如此重要的問題的解答可能帶來的風險，例如證明或有紕漏而使他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優先權，佩雷爾曼表示：“如果我錯了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。”田剛在MIT收到了佩雷爾曼的電子郵件，立即意識到其重要性。他開始閱讀並同他的同事們討論這篇文章。
2002年11月19日，幾何學家Kapovitch在電子郵件中詢問佩雷爾曼：“我是否理解正確：你在哈密爾頓的綱要中已經可以做足夠多的步驟使你能解決幾何化猜想？”佩雷爾曼第二天的回答只有一句話：“這是正確的。”
在美國的報告會
田剛寫信給佩雷爾曼邀請他到MIT作演講。普林斯頓和石溪分校的同事們也發出類似邀請。佩雷爾曼全部接受了，並於2003年4月開始在美國做巡迴演講。數學家們和新聞界都把這看作一件大事。使他感到失望的是，哈密爾頓沒有參加這些報告會。
佩雷爾曼告訴我們，“我是哈密爾頓的門徒，雖然還沒有得到他的認可。”當哥倫比亞大學的JohnMorgan邀請他去演講時他同意了，因為他希望在那裡能見到哈密爾頓。演講會在一個星期天早上舉行，哈密爾頓遲到了，並且在會後的討論和午餐中沒有提任何問題。“我的印象是他唯讀了我的文章的第一部分。”佩雷爾曼說。
對證明的驗證與說明
到2003年的7月，佩雷爾曼已經在網上公布了他的後兩篇文章。數學家們開始對他的證明艱苦地進行檢驗和說明。在美國至少有兩組專家承擔了這一任務：田剛（丘成桐的對手）和Morgan；還有密西根大學的兩位專家。克萊研究所對他們都給與資助，並計畫把田和Morgan的工作以書的形式出版。這本書除了為數學家們提供佩雷爾曼的證明的邏輯外，還是佩雷爾曼能夠獲得克萊研究所一百萬美元獎金的依據。
2004年9月10日，在佩雷爾曼回到聖彼得堡一年多後，他收到田剛發來的一封很長的電子郵件，田在其中寫道：“我想我們已經理解了你的文章，它完全正確。”佩雷爾曼沒有回信。他向我們解釋，“人們需要時間去適應這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實......重要的是我不去影響這個過程。”
退出
朱熹平與曹懷東到達聖彼得堡後經歷了一番曲折才見到佩雷爾曼。佩雷爾曼反覆說他已經退出了數學界，不再認為自己是職業數學家了。
他提到多年前他同一位合作者就如何評價某個作者的一項工作所發生的爭執。他說他對於學界鬆懈的道德規範感到非常沮喪。“不是那些違背道德標準的人被看作異類，”他說，“而是象我這樣的人被孤立起來。”當被問及他是否看過曹和朱的文章時，他回答“我不清楚他們做了什麼新貢獻。顯然朱沒有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至於丘成桐，佩雷爾曼說，“我不能說我被侵犯了。還有人做得比這更糟。當然，許多數學家多少是誠實的，可他們幾乎都是和事佬。他們容忍那些不誠實的人。”獲得菲爾茲獎的前景迫使他同他的職業徹底決裂。“只要我不出名，我還有選擇的餘地，”佩雷爾曼解釋說，“或者做一些醜事，”-----對於數學界缺乏正義感大驚小怪-----“或者不這樣做而被當作寵物。現在，我變得非常有名了，我不能再做寵物而不說話。這就是為什麼我要退出。”
當被問及，他拒絕了菲爾茲獎，退出了數學界，是否意味著他排除了影響數學界的任何可能性時，他生氣地回答“我不是搞政治的。”佩雷爾曼不願回答他是否也會拒絕克萊研究所的百萬美元獎金的問題。“在頒發獎金之前我不作決定，”他說。Gromov說他能理解佩雷爾曼的邏輯。“你要做偉大的工作就必須有一顆純潔的心。你只能想數學。其他一切都屬於人類的弱點。”儘管人們會把他拒絕接受菲爾茲獎視為一種傲慢，Gromov說，他的原則值得欽佩。“理想的科學家除科學之外不關心其他的事情。他希望生活在那樣理想的境界。雖然他做不到，但他希望那樣。”
2010年7月，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼拒絕了克萊數學研究所獎勵他的100萬美元，這筆獎金是獎勵他對龐加萊猜想的證明。
