哥德巴赫猜想[世界近代三大數學難題之一]

哥德巴赫猜想[世界近代三大數學難題之一]

哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它,於是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明,但是一直到死,歐拉也無法證明。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定,原初猜想的現代陳述為:任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和,或是一個素數和一個半素數的和"。

基本信息

猜想提出

1742年6月7日,哥德巴赫寫信給歐拉,提出了著名的哥德巴赫猜想:隨便取某一個奇數,比如77,可以把它寫成三個素數之和,即77=53+17+7;再任取一個奇數,比如461,可以表示成461=449+7+5,也是三個素數之和,461還可以寫成257+199+5,仍然是三個素數之和。例子多了,即發現“任何大於5的奇數都是三個素數之和。”

1742年6月30日歐拉給哥德巴赫回信。這個命題看來是正確的,但是他也給不出嚴格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題:任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和。但是這個命題他也沒能給予證明。

研究途徑

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分別是:殆素數,例外集合,小變數的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題。

殆素數

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數,雖然不能證明N是兩個素數之和,但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和,即N=A+B,其中A和B的素因子個數都不太多,譬如說素因子個數不超過10。用“a+b”來表示如下命題:每個大偶數N都可表為A+B,其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然,哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問題的推進

1920年,挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年,德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年,英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年,義大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1956年,中國的王元證明了“3 + 4”。稍後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1948年,匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”,其中c是一很大的自然數。

1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”, 中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年,蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫,及義大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年,中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。

例外集合

在數軸上取定大整數x,再從x往前看,尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數,即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望,無論x多大,x之前只有一個例外偶數,那就是2,即只有2使得猜想是錯的。這樣一來,哥德巴赫猜想就等價於E(x)永遠等於1。當然,直到現在還不能證明E(x)=1;但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2;如果當x趨於無窮大時,E(x)與x的比值趨於零,那就說明這些例外偶數密度是零,即哥德巴赫猜想對於幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數定理髮表於1937年。第二年,在例外集合這一途徑上,就同時出現了四個證明,其中包括華羅庚先生的著名定理。

業餘搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在機率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個結論華老早在60年前就真正證明出來了。

三素數定理

如果偶數的哥德巴赫猜想正確,那么奇數的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數N可以表成三個素數之和,假如又能證明這三個素數中有一個非常小,譬如說第一個素數可以總取3,那么我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年,即他25歲時,研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0,即這個小素變數有界,從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。後來的很長一段時間內,這方面的工作一直沒有進展,直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了,但是仍然大於0。

幾乎哥德巴赫問題

1953年,林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中,他率先研究了幾乎哥德巴赫問題,證明了,存在一個固定的非負整數k,使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方冪之和。這個定理,看起來好像醜化了哥德巴赫猜想,實際上它是非常深刻的。我們注意,能寫成k個2的方冪之和的整數構成一個非常稀疏的集合;事實上,對任意取定的x,x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此,林尼克定理指出,雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想,但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集,每次從這個稀疏子集裡面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去,這個表達式就成立。這裡的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度,數值較小的k表示更好的逼近度。顯然,如果k等於0,幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現,從而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文並沒有具體定出k的可容許數值,此後四十多年間,人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證,這個k應該很大。1999年,作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作,首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值後來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到,即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。目前最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的,這是一個很大的突破。

研究歷史

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936~1938年,他赴英留學,師從哈代研究數論,並開始研究哥德巴赫猜想,驗證了對於幾乎所有的偶數猜想。

1950年,華羅庚從美國回國,在中科院數學研究所組織數論研究討論班,選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題。參加討論班的學生,例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。

1956年,王元證明了“3+4”;同年,原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明了“3+3”;1957年,王元又證明了“2+3”;潘承洞於1962年證明了“1+5”;1963年,潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1+4”;1966年,陳景潤在對篩法作了新的重要改進後,證明了“1+2”。

哥德巴赫猜想證明的困難在於,任何能找到的素數,在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+(2*3*5*7*。。。。。。*P-1)*PN前面的偶數減去任何一個素數PN的差必是合數.

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