預序關係

b）的預序為偏序。 說明作為特例，空集上的空關係為一預序。 反過來說，每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。

定義

考慮集合 P 及其上的二元關係。若具有自反性和傳遞性，則稱為預序。具體來說，對 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性質成立：
自反性：aa
傳遞性：若ab且bc，則ac
帶預序的集合稱為預序集合（preordered set，或者proset）。
同時滿足反對稱性（若 ab 且 ba，則 a = b）的預序為偏序。
另一方面，如果一個預序滿足對稱性（若ab，則ba），則為等價關係。

說明

作為特例，空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。

導出偏序

將預序集的等價元素等同起來，可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下：定義預序集 X 上的等價關係，使得 ab 若且唯若 ab 且 ba。定義所得商集（所有的等價類構成的集合）上的序關係，使得[x][y] 若且唯若 xy。由的構造可知，的定義與所選等價類的代表元素無關，故上述定義明確。易證該關係為一偏序。

舉例

• 有向圖（可以包括圈）上的可到達關係給出了一個預序≤，對於有向圖中的任意兩點x, y，x≤y若且唯若存在一條由x到y的路徑。反過來說，每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。（比如，如果x≤y的話，就規定這個圖包含由x到y的有向邊。）不過，這種對應關係不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達關係。而同樣地，有向無環圖上的可到達關係也誘導出一個偏序。
• 拓撲中網的收斂定義使用預序比使用偏序可避免重要特徵的丟失。
• 可數全序間的嵌入（embedding）關係。
• 圖論中的graph-minor關係。

全預序的例子：

• 一般模型中的偏好概念。