濾子

濾子是一類集族，設X是集合，F是X的非空子集族，若F滿足： 1.F的任意兩個成員的交屬於F； 2.若A∈F，A⊂B⊂X，且B∈F；則稱F為X上的濾子。為了用極限的語言刻畫拓撲，嘉當(H.Cartan)於1937年定義了濾子，布爾巴基(N.Bourbaki)詳細討論了濾子的概念，並用它討論了極限，濾子的理論也是研究極限理論的一種工具，它和網的理論是等價的。巴特爾(R.G.Bartle)以及布龍斯(G.Bruns)和施密特(J.Schmidt)於1955年分別證明了它們的等價性。設F₁，F₂為集合X上的兩個濾子，若F₁⊂F₂，則稱F₁弱於F₂或F₂強於F₁，這種強弱關係是濾子間的序關係。

定義

濾子： 設是X的非空子集族，滿足：

(1) ；

(2)若．則；

(3)若，則。

則稱為一個濾子(filter)。

濾子基： 設為X的非空子集族，若它滿足

；

若，則存在使得；

則稱為X的一個 濾子基。

例1 設是一個點網，，令

則是一個濾子基。事實上，對於任意兩個，由於D是定向集，故存在一個，使得，容易看出，。同時，每個顯然非空，因此是一個濾子基，這裡的集合通常稱為由確定的終止集，而則稱為由確定的濾子基。

相關概念

定義1

若為X的濾子基，則容易看出是一個濾子，稱之為由生成的濾子，而也稱為的濾子基。

定義2

設為拓撲空間X的一個濾子，．如果，都有，則稱x為的聚點。濾子的聚點全體構成的集合記作adh 。如果對於，則稱x為的極限，此時也稱在X中收斂於x，在X中的全體極限構成的集合記作lim 。

定義3

設拓撲空間X的兩個濾子，若，則稱比小(粗，或弱)，也稱比大(細，或強)。

相關定理

定理1

設和是空間X的兩個濾子基，則

(1) 是一個濾子基；

(2)如果每個 ,則是一個濾子基；

(3)對每個有限子集族，存在一個使得

特別地，一個濾子基的有限個元素的交都是非空的。

例2 (1)設A是拓撲空間X的一個非空集合，則顯然是一個濾子基。如果，則在X中收斂於a，如果，則每個都是的聚點。

(2)不難驗證，拓撲空間X中點z的鄰域系N(x)是一個濾子，稱為 鄰域濾子，它當然收斂於x，同時也以x作為聚點。

定理2

設為拓撲空間X的一個濾子，則。

定理3

設拓撲空間X的一個濾子，則。

這一點從的定義即可看出。

定理4

如果為Hausdorff空間X的一個收斂濾子，則是單點集，且有關係式

例2 考慮Sierpinski空間是一個濾子，且不難驗證，既收斂於0，也收斂於1。

下面這個定理建立了點網和濾子之間的關係。

定理5

(1)設為拓撲空間X的一個濾子，則存在X中的點網使得

(2)設是X中的任一點網，則存在X的一個濾子使得

這個定理表明，在描述收斂性方面，點網與濾子有著相同的作用，但是，對於一個給定的情形，往往其中一種描述會優於另一種描述，或者說，其中一種描述會比另一種描述更為方便。

由定理5，容易得到下面兩個定理，其證明較為簡單。

定理6

設為拓撲空間X的一個濾子，則中有一個更粗的濾子收斂於x。

定理7

拓撲空間X是Hausdorff空間 X中的收斂濾子只有一個極限。

由定理5和定理1容易得到下面的定理。

定理8

拓撲空間X是緊空間 X中的任一濾子，都有。

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