雅可比橢圓函式:雅可比橢圓函式，數學術語，常見於高等數學之中。雅可比橢圓 -百科知識中文網

雅可比橢圓函式的定義

第一類橢圓積分
z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)
的反函式是雙周期的亞純函式，記作
ω=sn(z)=sn(z,k)
它具有基本周期：
ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)
ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)
sn(z)稱為橢圓正弦，k為模，k‘為補模。若
sin(φ)=sn(z)
則稱φ為z的振幅函式，記作 φ=am(z) 又定義
cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (橢圓餘弦)
tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (橢圓正切)
dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)
上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 統稱雅可比橢圓函式，它們都是二階橢圓函式。

雅可比橢圓函式的性質

特殊點的值

z	0	K/2	K	iK'/2	K+iK'/2	iK'	K+iK'
sn(z)	0	(1+k'^2)^(-1/2)	1	ik^(-1/2)	k^(-1/2)	∞	1/k
cn(z)	1	sqr(k'/(1+k'))	0	sqr((k+1)/k)	-sqr((k-1)/k)	∞	-ik'/k
dn(z)	1	k'^(1/2)	k'	sqr(1+k)	sqr(1-k)	∞	0

周期，零點，極點，留數

	基本周期	零點	極點	留數
sn(z)	4K 2iK'	2mK+2niK'	2mK+(2n+1)iK'	((-1)^m)/k
cn(z)	4K 2K+2iK'	(2m+1)K+2niK'	2mK+(2n+1)iK'	((-1)^(m+n))/(ik)
dn(z)	2K 4iK'	(2m+1)K+(2n+1)iK'	2mK+(2n+1)iK'	(-1)^(n-1)*i

誘導公式表

sn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1	0	1	2	2p
-1	-dn(z)/(k*cn(z))	±1/(k*sn(z))	dn(z)/(k*cn(z))	負正1/(k*sn(z))
0	-cn(z)/dn(z)	±sn(z)	cn(z)/dn(z)	負正sn(z)
1	-dn(z)/(k*cn(z))	±1/(k*sn(z))	dn(z)/(k*cn(z))	負正1/(k*sn(z))
2	-cn(z)/dn(z)	±sn(z)	cn(z)/dn(z)	負正sn(z)
2q					(-1)^p*sn(z)

cn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1	0	1	2	2p
-1	-(ik')/(kcn(z))	±(idn(z))/(ksn(z))	(ik')/(kcn(z))	負正(idn(z))/(ksn(z))
0	±(k'sn(z))/dn(z)	cn(z)	負正(k'sn(z))/dn(z)	-cn(z)
1	(ik')/(kcn(z))	負正(idn(z))/(ksn(z))	-(ik')/(kcn(z))	±(idn(z))/(ksn(z))
2	負正(k'sn(z))/dn(z)	-cn(z)	±(k'sn(z))/dn(z)	cn(z)
2q					(-1)^(p+q)*cn(z)

dn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1	0	1	2	p
-1	負正(ik'sn(z))/cn(z)	±(icn(z))/sn(z)	負正(ik'sn(z))/cn(z)	±(icn(z))/sn(z)
0	k'/dn(z)	dn(z)	k'/dn(z)	dn(z)
1	±(ik'sn(z))/cn(z)	負正(icn(z))/sn(z)	±(ik'sn(z))/cn(z)	負正(icn(z))/sn(z)
2	-k'/dn(z)	-dn(z)	-k'/dn(z)	-dn(z)
q					(-1)^q*dn(z)

基本關係

sn(z)^2+cn(z)^2=1
dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1
dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2
am(-z)=-am(z)
sn(-z)=-sn(z)
cn(-z)=cn(z)
tn(-z)=-tn(z)
dn(-z)=-dn(z)
可見，雅可比橢圓函式的關係與圓函式（三角函式）相似。