猜想內容
當整數時，關於的方程沒有正整數解。歷史研究
猜想提出
費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”（拉丁文原文:"Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnoncaperet."）
畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，推動了數論的發展。
對很多不同的n，費馬定理早被證明了。其中歐拉證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理；費馬自己證明了n=4的情形。
1825年，狄利克雷和勒讓德證明了n=5的情形，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。
1839年，法國數學家拉梅證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；於是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。
1844年，庫默爾提出了“理想數”概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。
莫德爾猜想
1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想．按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的“虧格”大於或等於2時，最多只有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，並且隨著抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。而費馬多項式沒有奇點，其虧格為。當時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，如果莫德爾猜想成立，那么費馬大定理中的方程本質上最多有有限多個整數解。
1983年，德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而翻開了費馬大定理研究的新篇章．法爾廷斯也因此獲得1986年菲爾茲獎。
谷山豐猜想
1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯繫；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。
1985年，德國數學家弗雷指出了谷山——志村猜想”和費馬大定理之間的關係。他提出了一個命題：假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數使得，那么用這組數構造出的形如乘以的橢圓曲線，不可能是模曲線。
儘管他努力了，但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同時證明這兩個命題，根據反證法就可以知道“費馬大定理”不成立，這一假定是錯誤的，從而就證明了“費馬大定理”。但當時他沒有嚴格證明他的命題。
1986年，美國數學家裡貝特證明了弗雷命題，於是希望便集中於“谷山——志村猜想”。
猜想成立
1993年6月，英國數學家安德魯·懷爾斯宣稱證明：對有理數域上的一大類橢圓曲線，“谷山—志村猜想”成立。由於他在報告中表明了弗雷曲線恰好屬於他所說的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終證明了“費馬大定理”；但專家對他的證明審察發現有漏洞。懷爾斯不得不努力修復著一個看似簡單的漏洞。
懷爾斯和他以前的博士研究生理察·泰勒用了近一年的時間，用之前一個懷爾斯曾經拋棄過的方法修補了這個漏洞，這部份的證明與岩澤理論有關。這就證明了谷山-志村猜想，從而最終證明了費馬大定理。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》（AnnalsofMathematics）之上。
懷爾斯因此獲得1998年國際數學家大會的特別榮譽，一個特殊製作的菲爾茲獎銀質獎章。
推理研究
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