線性插值

線性插值

線性插值是指插值函式為一次多項式的插值方式,其在插值節點上的插值誤差為零。線性插值相比其他插值方式,如拋物線插值,具有簡單、方便的特點。線性插值的幾何意義即為概述圖中利用過A點和B點的直線來近似表示原函式。線性插值可以用來近似代替原函式,也可以用來計算得到查表過程中表中沒有的數值。

基礎知識

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已知函式 在區間 上 個互異點 上的函式值 ,若存在一簡單函式 ,使

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並要求誤差

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的絕對值 在整個區間 上比較小。這樣的問題稱為插值問題。

其中

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:插值節點

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:被插值函式

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:插值函式

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:插值區間

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如果在插值區間內部用 代替 則稱為內插;在插值區間以外,用 代替 則稱為外插。

簡介

線性插值是一種較為簡單的插值方法,其插值函式為一次多項式。線性插值,在各插值節點上插值的誤差為0 。

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如概述圖中所示,設函式 在兩點 , 上的值分別為 , ,求多項式

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使滿足

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由解析幾何可知

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稱 為 在 處的一階均差,記以 。於是,得

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如果按照 整理,則

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以上插值多項式為一次多項式,這種插值稱為線性插值。

幾何意義

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線性插值的幾何意義如右圖所示,即為利用過點 和 的直線 來近似原函式 。

套用

1)線性插值在一定允許誤差下,可以近似代替原來函式;

2)在查詢各種數值表時,可通過線性插值來得到表中沒有的數值。

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