定義
目的是定義自然數集合，首先需要承認的是集合具有的一些運算性質，例如：a=b時a,b代表的是同一個元素。
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
•Ⅰ、0是自然數；
•Ⅱ、每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a' ，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；
可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：
•Ⅲ、0不是任何自然數的後繼數；
但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密，我們還得再加一條。
•Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那么b=c；
最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。
•Ⅴ設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)
註：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“ n=0或 n為其它數的後繼數”，那么滿足歸納公設的條件。
若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。
更正式的定義
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組( X, x, f)：
Ⅰ、 X是一集合， x為 X中一元素， f是 X到自身的映射；
Ⅱ、 x不在 f的像集內；
Ⅲ、 f為一單射。
Ⅳ、若 A為 X的子集並滿足 x屬於 A,且若 a屬於 A, 則 f( a)亦屬於 A，則 A= X。
該結構與由皮亞諾公理引出的關於自然數集合的基本假設是一致的：
1° 自然數集 P不是空集；
2° P到 P記憶體在 a → a直接後繼元素的一一映射；
3° 後繼元素映射像的集合是 P的真子集；
4° 若 P任意子集既含有非後繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合。
能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理！
例如:其中第四個假設即為套用極其廣泛的歸納法第一原理（數學歸納法）的理論依據。
加法的定義
我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：
Ⅰ、∀ m∈ N，0 + m = m；
Ⅱ、∀ m， n∈ N， n' + m = （ n + m）'。
有了這兩條僅依賴於“後繼”關係的加法定義，任意兩個自然數相加的結果都能確定出來了。
加法性質
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根據自然數的公理）
= （0 + 1)’（根據加法定義Ⅱ）
= 1’ （根據加法定義Ⅰ）
= 2 （根據自然數的公理）
結合律
證明對任意的 a,下述命題成立：
∀ b, c，( a+ b)+ c= a+( b+ c)。
當 a=0時，
(0+ b)+ c= b+ c(加法定義Ⅰ)
=0+( b+ c)(加法定義Ⅰ)，命題成立。
假設命題對 a成立，則對 a'：
任給 b, c,有( a'+ b)+ c=( a+ b)'+ c=(( a+ b)+ c)'=( a+( b+ c))'= a'+( b+ c),命題也成立。
由公理Ⅴ，命題成立。由此即得結合律 a+( b+ c)=( a+ b)+ c。
m'=1+m
當 m = 0 時，1+m=1+0= 0'+0=(0+0)'=0'，命題成立。由公理Ⅴ，即知命題對m的其他自然數取值也成立。
m'=m+1
當 m= 0 時，對於m'，m'=0'=1=0+1=m+1,命題成立。對(m‘)'，( m’)'=( m+1)'=m'+1，命題也成立。由公理Ⅴ，即知命題對m的其他自然數取值也成立。
m+0=m
（1）當 m=0 時，m+0=0+0=0，m=0，於是m+0=m成立，即m+0=m在m=0時成立；
（2）假設m+0=m在m=k時成立，即k+0=k，那么當m=k'時，m+0=k'+0=(k+0)'=k'，m=k'，於是m+0=m成立，即m+0=m在m=k'時成立。由此，如果m+0=m在m=k時成立，那么m+0=m在m=k'時成立；
由（1）（2）得，m+0=m恆成立。
由公理Ⅴ，即知m+0=m對於m的其他自然數取值也成立。
交換律
現證對任意的自然數 n，下述命題為真：
∀自然數 m, n+ m=m+n。
當n=0時，對於n， n+m=0+m=m=m+0= m+ n， 對於n'，n'+m=(n+m)'=(m+n)'=m'+n=m+1+n=m+0'+n=m+(0+n)'=m+n'，交換律成立。
由公理Ⅴ，即知交換律對於n的其他自然數取值也成立。
乘法的定義
乘法是滿足以下兩種規則的運算：
Ⅰ∀自然數 m， m · 0 = 0 ；
Ⅱ∀自然數 m， n， m · n' = m · n + m 。
有了這兩條僅依賴於“後繼”關係的乘法定義，任意兩個自然數相乘的結果都能確定出來了。
乘法性質
乘法分配律
m·( n+ k)= m· n+ m· k。
證明：
當 n=0時, m·(0+ k)= m· k =0+ m· k= m·0+ m· k，
因此乘法分配律對 n=0成立。
假設結論對 n成立, 下證結論對 n'成立。
m·( n'+ k)= m·( n+ k)' (加法定義)
= m·( n+ k)+ m (乘法定義)
=( m· n+ m· k)+ m (歸納假設)
= m· n+( m· k+ m)= m· n+( m+ m· k)=( m· n+ m)+ m· k(加法結合律、交換律)
= m· n'+ m· k (乘法定義), 因此結論對 n'也成立, 由數學歸納原理知, 乘法分配律成立。
乘法結合律
( m· n)· k= m·( n· k)。
當 k=0時，( m· n)·0=0 (乘法定義)
m·( n·0)= m·0=0 (乘法定義)。
假設結論對 k成立, 即( m· n)· k= m·( n· k)。 下證結論對 k'成立。
( m· n)· k'=( m· n)· k+ m· n (乘法定義)
m·( n· k')= m·( n· k+ n) (乘法定義)
= m·( n· k)+ m· n (乘法分配律)
=( m· n)· k+ m· n (歸納假設), 因此結論對 k'也成立, 由數學歸納原理知, 乘法結合律成立。
0·n=0
當 n=0時，由乘法定義0·0=0, 結論成立。
假設結論對 n成立, 即0· n=0。 下證結論對 n'成立。
0· n'=0· n+0 (乘法定義)
=0+0 (歸納假設)
=0 (加法定義)
因此, 0· n‘=0, 結論對 n’也成立, 由數學歸納原理知，結論成立。
n'·m=n·m+m
當 m=0時, 由於 n'·0=0(乘法定義)
又 n·0+0=0+0 (乘法定義)
=0 (加法定義), 因此 n'·0= n·0+0, 結論成立。
假設結論對 m成立, 即 n'· m= n· m+ m. 下證結論對 m'成立。
n'· m'= n'· m+ n' (乘法定義)
=( n· m+ m)+ n' (歸納假設)
=( n· m+ m)+( n+1) (後繼運算)
=( n· m+ n)+( m+1) (加法運算的性質)
= n· m'+ m' (乘法定義和後繼運算)
因此結論對 m'也成立, 由數學歸納原理結論成立。
乘法交換律
m· n= n· m。
當m=0時, 0· n=0= n·0, 結論成立。
假設結論對 m成立, 即 m· n= n· m. 下證結論對 m'成立。
n· m'= n· m+ n (乘法定義)
= m· n+ n (歸納假設)
= m'· n(前文結論)
因此結論對 m'也成立, 由數學歸納原理乘法交換律成立。
減法和除法
定義整數為自然數對（ a, b）；定義：如果 a+ d= b+ c，則( a, b)=( c, d)；定義整數加法為( a, b)+( c, d)=( a+ c, b+ d)；定義( a, b)的相反數為（ b, a）。將( a,0)和 a等同。則可以證明自然數是整數的一部分，加法的定義是相符的。這樣，在整數上，我們有相反數的概念。整數和它相反數的和是0，0和任意整數的和是其自身。在整數上，定義 a- b為 a+(- b)。可以驗證，這樣的定義與通常理解的整數加減法是一致的。
進一步定義有理數為整數對[ a, b]，其中 b非零。定義[ a, b]=[c,d]如果 ad= bc。定義有理數乘法為[ a, b][ c, d]=[ ac, bd],定義[ a, b]的倒數為[ b, a]，如果 a, b非零。定義有理數加法為[ a, b]+[ c, d]=[ ad+ bc, bd]，定義[ a, b]的相反數為[- a, b]，定義 a- b為 a+(- b)。將[ a,1]和 a等同，則可以證明整數是有理數的一部分，加法減法乘法的定義是相符的。這樣，在非零有理數上，我們有倒數的概念。非零有理數和它倒數的積是1，1和任意有理數的積是其自身。在有理數上，定義 a/ b為 a(1/ b)，如果 b非零。可以驗證，這樣的定義與通常理解的有理數加減乘除法是一致的。
如果大家對這方面問題感興趣的話，可以嘗試證明前文中“可以驗證”的內容，也可以看看 來知道具體是怎么證明的。
實數、微積分
皮亞諾公理是義大利數學家皮亞諾在 1889 年發表的。雖然描述這套公理體系的數學語言發生過不少變化，但這套體系本身始終被延用。根據這個建立在公理基礎之上的自然數體系，通過引入減法可以得到整數系，再引入除法得到有理數體系。隨後，通過計算有理數序列的極限（由數學家康托提出）或者對有理數系進行分割（由戴德金提出）得到實數系 。這一套公理化實數體系連同同時期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過程中的貢獻（例如極限定義中的 ε- δ 語言）一道，使得早已被人類套用兩百多年的微積分學能建立在一個堅實的基礎上 。
代數結構
總結一下，我們的有理數和實數有加減乘除四種運算。那有沒有別的公理體系和代數系統呢？答案是肯定的。
在回答這個問題前，先來看看什麼叫代數系統。首先看看，如果只有加減法會怎么樣？我們可以定義阿貝爾群為只有加減法的代數系統（ G,+）,這裡+滿足：
1° 結合律,( a+ b)+ c= a+( b+ c);
2° 零元素,0+ a= a+0= a;
3° 相反數，每一個元素 a都有相反數(- a)，滿足 a+(- a)=(- a)+ a=0;
4° 交換律， a+ b= b+ a.
在阿貝爾群上，可定義減法為 a- b= a+(- b)。
下面來看一個例子，定義 G為兩個元素的集合{奇數，偶數}。定義偶數+偶數=偶數，偶數+奇數=奇數，奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數。將偶數視為0，偶數的相反數為偶數，奇數的相反數為奇數。則這樣定義的加法和減法也符合加減法的基本運算規則。換句話說，我們得到了和整數不一樣的一個阿貝爾群！與之類似的，可以定義 G為 n個元素的集合{ n的倍數， n的倍數+1，……， n的倍數+ n-1}。這樣的阿貝爾群在數學上被稱作 Zn群。 Z2群就是前文中{奇數，偶數}群，奇偶性和餘數，2和其他的數字相比沒有任何特殊性。順便說一下，如果在前文中去掉公理2，而定義（ n-1）的後繼為0的話，就將得到 Zn群。
在阿貝爾群的定義中去掉交換律即可得到群的定義。
那如果有加減乘三種運算呢？定義交換環為( G,+,*),其中( G,+)為阿貝爾群，（ G,*）滿足結合律和交換律，且有分配率： a( b+ c)= ab+ ac。如果去掉乘法交換律則稱為環。例如（有限小數，加法，乘法）就構成了一個交換環。
同時擁有加減乘除四種運算的代數結構稱為域。其正式的定義是，一個交換環( G,+,*)被稱為域，如果存在乘法單位元1，滿足1· a= a= a·1,且除0外的所有元素 a都有倒數1/ a,滿足（1/ a） a=1= a(1/ a)。定義域上的除法為 a/ b= a(1/ b)。
例如，{奇數，偶數}附加乘法運算：偶數×偶數=偶數×奇數=奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數，之後成為交換環，奇數就是乘法單位元。這被稱作二元數域。一般地，前文中所說的 Zn也可類似地構成交換環，在n為素數的情況下構成域。
同構
如果定義另一種系統，這個系統有零、一、二、三……等元素，那么會怎么樣？表面上看0和零，1和一似乎是完全不一樣的東西。但是，如果看它的本質內涵的話，0和零隻是本質上一樣的東西用不同的語言描述罷了。在數學上，有理由認為本質上相同的東西是同一個東西。用專業術語來說，就是“同構”。
嚴格地，定義兩個結構同構，如果它們的元素一一對應，且滿足相同的運算。例如1和一對應，2和二對應，1+1=2對應過去後寫做一加一等於二，剛好和原有的加法定義一致。
更加深奧的概念是部分同構，換句話說兩者只有在只考慮某種運算的情況下是一致的。一個例子就是半整數(0,1/2,1,3/2,2,5/2,…，-1/2,-1,-3/2,-2,…)和整數。我們可以讓整數中的1看做半整數中的1/2，整數中的n和半整數中的 n/2對應，則只考慮加法的話，這兩個阿貝爾群是同構的！可以這樣通俗地理解：整數中1看做加法單位，2看做兩個單位，然後讓1/2成為半整數單位。然而，你也許會問(1/2)×(3/2)=3/4怎么辦？這實際上表明，半整數只能成為群，而無法成為環。它只有加法一個結構，而這個結構和整數的加法結構是一樣的。更一般地，{0/ n,1/ n,2/ n,…,-1/ n,-2/ n}也有一個和整數相同的加法結構。2並無特殊性。
在前文中半整數的1既可以看文字，與整數中1對應，又可以看內涵與整數2對應。這種既相同又不同的性質， 同構和不同構，同一性和差異性蘊含著深厚的哲學思想。研究代數結構是否同構，共有多少種互不同構的代數結構，一直都是代數學的核心任務。
