佩亞諾公理

皮亞諾公理(Peano axioms),也稱皮亞諾公設,是義大利數學家皮亞諾提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統。

內容

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

1是自然數;

每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a',a'也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);

對於每個自然數b、c,b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;

1不是任何自然數的後繼數;

任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n'也真,那么,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)

1.

1是自然數;

2.

每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a',a'也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);

3.

對於每個自然數b、c,b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;

4.

1不是任何自然數的後繼數;

5.

任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n'也真,那么,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)

若將0也視作自然數,則公理中的1要換成0。

更正式的定義如下:

一個 戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組( X, x, f):

•X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射。

•x不在f的值域內。(對應上面的公理4)

•f為一單射。(對應上面的公理3)

•若A為X的子集並滿足:

•x屬於A,且

•若a屬於A,則f(a) 亦屬於A

則A=X。

正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:

戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)

•(e ∈ S)

•(∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )

•(∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)

•(∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )

•(∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )

分歧

關於皮亞諾公理的內容有不同版本。其中若將零視為自然數,第一個公理分別被闡述為:

•1是一個自然數。

•0是一個數字。

•0是一個自然數。

•存在一個自然數0。和“0是一個自然數”等價。

參見

•自然數

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