差商

差商即均差，指導數的近似值。對等步長(h)的離散函式f(x)，其n階差商就是它的n階差分與其步長的n次冪的比值。例如n=1時，若差分取向前的或向後的，所得一階差商就是函式的導數的一階近似；若差分取中心的，則所得一階差商是導數的二階近似。

定義

差商

差商

差商

差商

差商

給定函式和插值節點用表示關於節點的k階差商(k-th Difference Quotient)(k=1，2，…，n)，它們可遞歸定義為

差商

差商

差商

差商

其中關於節點的0階差商定義為其函式值，即。

差商表

差商

可以構造差商表(表1)，按列遞推計算的各階差商：

表1 差商計算表

節點	0階差商	1階差商	2階差商	3階差商	4階差商	差商
差商	差商
差商	差商	差商
差商	差商	差商	差商
差商	差商	差商	差商	差商
差商	差商	差商	差商	差商	差商
差商	差商	差商	差商	差商	差商	差商

具體計算過程為

0階差商：

差商

1階差商：

差商

2階差商：

差商

差商

差商

3階差商：

差商

差商

差商的性質

根據差商的定義，利用數學歸納法可以證明差商具有如下性質：

性質1

差商

對有

差商

差商

差商

如

性質2

差商

(對稱性)差商與插值節點的順序無關，即

差商

差商

差商

其中是的任意一個排列。