定義
伯努利簡單地說，大數定理就是“當試驗次數足夠多時，事件發生的頻率無窮接近於該事件發生的機率”。該描述即貝努利大數定律。
發展歷史
伯努利是第一個研究這一問題的數學家，他於1713年首先提出後人稱之為“大數定律”的極限定理。後來泊松、切比雪夫、馬爾科夫、格涅堅科等眾多的數學家都有重大成就，弱大數定律的研究已經趨於完善，最好的結果是屬於格涅堅科，他找到了弱大數定律成立的充要條件，而且沒有任何獨立性或同分布的要求。在二十世紀初，博雷爾引入測度論的方法之後，將伯努利大數定理推廣到強大數定律開創了強大數定律的研究，之後工作最有成就的屬於柯爾莫哥洛夫，他不但完成了機率的公理化，還找到了獨立同分布下的強大數定律的充要條件。如今，對強大數定律的研究仍然是難題，數學家們在向著不獨立隨機變數序列服從強大數定律的條件努力。
舉例說明
例如，在重複投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲了n次硬幣中出現正面的次數。不同的n次試驗，出現正面的頻率（出現正面次數與n之比）可能不同，但當試驗的次數n越來越大時，出現正面的頻率將大體上逐漸接近於1/2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統偏差，由於衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重複稱量多次，可能得到多個不同的重量數值，但它們的算術平均值一般來說將隨稱量次數的增加而逐漸接近於物體的真實重量。幾乎處處收斂與依機率收斂不同。生活例子：開始上課了，慢慢地大家都安靜下來，這是幾乎處處收斂。絕大多數同學都安靜下來，但每一個人都在不同的時間不安靜，這是依機率收斂。
數學家
拉普拉斯
拉普拉斯，1749年3月23日生於法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學院數學教授，1795年任巴黎綜合工科學校教授，後又在高等師範學校任教授。1799年他還擔任過法國經度局局長，並在拿破崙政府中任過6個星期的內政部長，1816年被選為法蘭西學院院士，1817年任該院院長，1827年3月5日卒於巴黎。拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創造和發展了許多數學的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學技術的各個領域有著廣泛的套用。
德莫佛
德莫佛，法文原名AbrahamdeMoivre，（1667.05.26法國-1754.11.27英國倫敦），法國數學家。德莫佛對數學最著名的貢獻是德莫佛公式（deMoivreFormula）和德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對常態分配和機率理論的研究。德莫佛還寫了一本機率理論的教科書，TheDoctrineofChances，據說這本書被投機主義者（gambler）高度讚揚。德莫佛是解析幾何和機率理論的先驅之一；他還最早發現了一個二項分布的近似公式，這一公式被認為是常態分配的首次露面。大數法則又稱“大數定律”或“平均法則”。人們在長期的實踐中發現，在隨機現象的大量重複中往往出現幾乎必然的規律，即大數法則。此法則的意義是：風險單位數量愈多，實際損失的結果會愈接近從無限單位數量得出的預期損失可能的結果。據此，保險人就可以比較精確的預測危險，合理的厘定保險費率，使在保險期限內收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。大數法則是近代保險業賴以建立的數理基礎。保險公司正是利用在個別情形下存在的不確定性將在大數中消失的這種規則性，來分析承保標的發生損失的相對穩定性。按照大數法則，保險公司承保的每類標的數目必須足夠大，否則，缺少一定的數量基礎，就不能產生所需要的數量規律。但是，任何一家保險公司都有它的局限性，即承保的具有同一風險性質的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風險單位及風險分散面。
常見類型
由於隨機變數序列向常數的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依機率收斂，以機率1收斂或均方收斂，分別有弱大數定律、強大數定律和均方大數定律。常用的大數定律有：伯努利大數定律、辛欽大數定律、柯爾莫哥洛夫強大數定律和重對數定律。
設有一隨機變數序列，假如它具有形如（1）的性質，則稱該隨機變數服從大數定律。
