定義
向量子空間
向量子空間 向量子空間設 是 的一個非空子集，若 中的元素滿足：
向量子空間
向量子空間（1）若任意的 ，則 ；（對加法是封閉的）
向量子空間
向量子空間
向量子空間（2）若任意的 ， （任意實數），則 。（對數乘也是封閉的）
向量子空間 向量子空間則稱集合 是 的一個子空間。
性質
向量子空間 向量子空間
向量子空間如果 是 的一個子空間，則必有 ，即則子空間中必須包含“0向量”。
證明：
向量子空間 向量子空間 向量子空間 向量子空間
向量子空間是 的子空間， 非空，從而存在 ，由對數乘封閉， ，對加法封閉，所以
向量子空間 向量子空間 向量子空間 向量子空間此性質是向量子空間的必要條件，如果 中沒有0向量， 就不是 的子空間。而且一般來說，證明向量子空間中有0向量，可以說明子空間非空。
例子
向量子空間
向量子空間
向量子空間
向量子空間 向量子空間 向量子空間例1： 為 中形如 ， 為任意實數的集合，驗證 是 的一個子空間。
向量子空間 向量子空間，所以 非空，任取
向量子空間 向量子空間 向量子空間故由定義得， 是 的一個子空間。
向量子空間
向量子空間 向量子空間
向量子空間例2：設 為全體實數的集合， 是否分別是 的向量子空間，設
向量子空間規律：凡是對 做一個齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間，而作非齊次線性方程的集合則因為它不穿過原點，就不是向量子空間。
向量子空間證明：任取，設
向量子空間
向量子空間
向量子空間
向量子空間 向量子空間
向量子空間 向量子空間 向量子空間故是的向量子空間。而不是的向量子空間。因為0+0+···+0不等於1，因此零向量不屬於。
