友矩陣

友矩陣亦稱伴侶矩陣，矩陣標準形理論中一類重要的矩陣，是數域F上首項係數為1的多項式所對應的特定形式n階矩陣。其主對角線上方或者下方的元素均為1，而主對角線元素為零；最後一行或第一行的元素可取任意值；而其餘元素均為零，友矩陣的特徵根多項式是首一多項式。

定義

設

友矩陣

是數域F上的首項為1的多項式，則n階矩陣：

友矩陣

稱為多項式f(t)的友矩陣（或伴侶矩陣），方陣的有理標準形就是由友矩陣塊構成的分塊對角矩陣，而有理標準形在套用上以及理論推導中，都有較大的作用。

相關定理

定理1

每一個首1多項式既是它的友矩陣的最小多項式，又是它的友矩陣的特徵多項式。

友矩陣

友矩陣

友矩陣

如 的極小多項式的次數為n，那么與每一個特徵值對應的最大的Jordan塊就是與每一個特徵值對應的唯一的Jordan塊．這樣的矩陣是無損的，特別地，每一個友矩陣都是無損的，當然，不一定每個無損的矩陣 都是友矩陣，但是A與A的特徵多項式的友矩陣C有同樣的Jordan標準型(與每一個不同的特徵值 對應的只有一個分塊，所以A與C相似。

定理2

友矩陣

設C為多項式p(x)的友矩陣， 是C的特徵值，則

友矩陣

友矩陣

是C的對應於 的特徵向量。

定理3

友矩陣

n階複數矩陣A相似於它的特徵多項式 的友鉅陣，當日僅當A的最小多項式與特徵多項式相同。

定理4

友矩陣

友矩陣

友矩陣

設 有極小多項式 以及特徵多項式 ，則下面諸結論等價：

友矩陣

(a) 的次數為n；

友矩陣

友矩陣

(b) = ；

(c)A是無損的；

友矩陣

(d) 與P^(t)的友矩陣相似。