偏微分方程初值問題差分方法

偏微分方程初值問題差分方法，一種求解偏微分方程初值問題的主要數值方法。許多連續介質的運動過程都可表示成含時間 t的偏微分方程。

偏微分方程初值問題差分方法

正文

一種求解偏微分方程初值問題的主要數值方法。許多連續介質的運動過程都可表示成含時間 t的偏微分方程。最簡單的有雙曲型的對流方程

(1)

和拋物型的擴散方程

(2)

式中α和σ是常數。當u的初始狀態(設為t=0時的狀態)給定後，常要研究這些過程在t>0後的演化,在數學上就是給定初值

　(3)

後求微分方程在｜x｜<∞,t>0時的解u(x，t)。這種問題叫作初值問題
初值問題(1)、(3)的解為

　 (4)

初值問題的差分方法包含下列步驟和問題，先把問題的求解區域進行格線剖分，再在格子點上按適當的數值微分公式把問題中的微商換成差商，從而把微分問題離散化,得到差分格式,最後求出差分格式的數值解。差分格式的解的存在性和惟一性,有時並不顯然,需要論證。解的求法和解法的數值穩定性也需要研究。此外，還要估計差分問題的解與微分問題的解的差別，研究在格線步長趨於零時前者對後者的收斂性以及差分問題的解是否連續地依賴於初值，即穩定性的問題。
微分方程定解問題的離散化(差分格式的建立)　以初值問題(1)、(2)為例,在x-t平面上作兩族平行於坐標軸的直線

對初值問題(1)、(2)的求解區域進行格線剖分,如圖所示（格線線之間的距離，也可以是不相等的）。格線線的交點叫作格點，在格點(jΔx，nΔt)上，由數值微分公式

及方程(1)，可得(1)的另一種表達式

略去其中O(Δx2+Δt)項,即得一個差分方程。原問題的解u(x,t)自然不能滿足這個差分方程。用表示這差分方程的解，則適合

(6)

把微分方程(1)的充分光滑的解u(x,t)代入式(6)，其誤差為 O(Δx2+Δt)，叫作差分方程的截斷誤差, 它對空間x是二階的,對時間t是一階的。式(6)就是一個把微分方程(1)離散化而得的差分方程。它聯繫著點(jΔx, nΔt)及其相鄰格點上的u(x,t)的近似值。在計算時,式(6)常寫為

(7)

根據差分方程，可依次從算出,,…等。
離散化過程並不惟一，因而可有不同的差分格式。例如，由

(8)

就可得差分方程

(9)

亦即

這個差分格式的截斷誤差對空間和時間都是一階的。
差分格式的相容性　當Δt和Δx都趨於零時,若差分格式的截斷誤差也趨於零，則稱差分格式與微分方程是相容的。相容性說明Δt和Δx越小差分方程與微分方程越接近。上面的差分方程 (7)和(9)都是微分方程(1)的相容格式。
差分格式的收斂性 設P(,)是求解區域中的一點，取Δx與Δt使=jΔx,=nΔt用差分格式算出。如果當Δt和Δx趨於零時，-u(,)也趨於零,則可用作微分方程的解u(jΔx,nΔt)的近似,並稱此差分格式是收斂的。
庫朗條件　也稱CFL條件,是A.A.庫朗、K.O.弗里德里希斯和H.盧伊三人1928年在一篇著名文章中提出的。雙曲線微分方程的解, 對某一點(, )而言,在初值區域內有一個依賴區域。差分方程也是如此。對同一個微分方程，相容但不相同的差分格式的依賴區域可以不同。對於差分格式(7)，點(jΔx，nΔt)的依賴區域是初值線，t=0上的區間【(j-n)Δx,(j+n)Δx】。如令Δt/Δx=r=常數，=jΔx,=nΔt,則點、的依賴區域為【-/r,+/r】,可見對於固定點(,),若步長比r固定，依賴區域的大小與Δt和Δx 的大小無關。差分方程(9)的依賴區域則是【-t/r,】。庫朗條件是:差分格式收斂的一個必要條件是差分方程的依賴區域包含微分方程的依賴區域。用它可判斷哪些格式不收斂。 微分方程(1)在點(,)處的依賴區域是點(-α,0)。所以,格式(7)的庫朗條件是

即格式(9)的庫朗條件則是同時，庫朗條件指出α<0時,格式(9)不收斂。因此當α<0時，格式(9)是無用的。
庫朗條件只是收斂的必要條件。收斂性還需有正面證明，當α>0時，格式(9)在庫朗條件

　 (10)

下的確是收斂的。
如果α<0，當時，格式

也收斂。這兩個格式稱為迎風格式，因為當α>0時，用向後差商往上風取近似值；當α<0時,用向前差商代替，同樣也是往上風取近似值。
差分格式的穩定性　用一個差分格式計算時，初值的誤差必然要影響到後面的,但希望這誤差的影響不要越來越大以致完全歪曲了差分方程的真解，這便是穩定性問題。對於常係數線性偏微分方程的穩定性理論,J.馮·諾伊曼系統地運用傅立葉分析作了研究,把差分方程的解表示成諧波的疊加，考察其中一個諧波

(11)

的增長情況，式中k為實數,G＝G(k，Δt稱為增長因子。若對於一切諧波,(11)的振幅一致有界,即對於一切適合於0≤nΔt≤T的n 和充分小的Δt都有｜Gn｜≤k，k為常數，則此差分格式是穩定的。例如，對格式(6)

故當sinkΔx≠0時，恆有｜G｜>1，所以格式(6)儘管是相容的格式，並且滿足庫朗條件，但它卻是不穩定的。又如對格式(9)

而

故當，即滿足庫朗條件時，｜G｜≤1，所以格式(9)是穩定的。
對於擴散方程的初值問題(2)、(3)，採用記號

可有差分格式

(12)

若初值為以 1為周期的函式，且u(0)=u(1)=0，又若J=1/Δx，則差分格式(12)還應有邊界條件

(13)

也可以用差分格式

(14)

這兩種格式，前者可以由n層格點上的直接計算+1，叫做顯式格式。顯式格式與(2)是相容的,它的截斷誤差為 O(Δx2+Δt)；如為常數, 則當時它是收斂的和穩定的，帶有邊值條件的差分格式(14)，是含未知數+1(j=1,2,…,J-1)的一組線性聯立方程組, 這種格式叫做隱式格式。它的解存在、惟一，並且可用追趕法求解。當r取任何正值時，它都是穩定的,其截斷誤差也是O(Δx2+Δt)，由於r無限制,Δt比顯式格式可相對取得大一些，當然Δt太大了，也要影響到截斷誤差。
把格式(12)和(14)組合起來，又可有格式

(15)

它的截斷誤差為

它的穩定性條件是：

當時，這格式叫荷瑞克-尼考松格式,它也是隱式格式,它的截斷誤差是O(Δx2+Δt2)比四點隱式格式(14)好，但工作量卻略大一些。
拉克斯等價定理　對於線性偏微分方程組的適定的初值問題，一個與之相容的線性差分格式收斂的充分必要條件是這格式是穩定的。
這個重要定理說明，在差分格式的收斂性與穩定性兩個問題中，對於適定的線性偏微分方程問題，只須證明比較容易證明的相容性與穩定性。
參考書目
　R.D.Richtmyer and K.M.Morton,Difference Methods for Initial value Problems,2nd ed., Interscience, New York, 1967.

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