一般空間微分幾何學

在19世紀中，已經出現了黎曼幾何。它是以定義空間兩鄰點間的距離平方的二次微分形式為基礎而建立起來的。

正文

20世紀以來，因受到廣義相對論的影響，黎曼幾何發展很快，從此產生了以更一般的曲線長度積分為基礎的芬斯勒空間，以超曲面的面積積分為基礎的嘉當空間,以二階微分方程組為基礎的道路空間和K展空間等等，而這些通稱一般空間。
芬斯勒空間 設M是參考於一系坐標xi(i=1,2,…,n)的n維集合，並且它的曲線xi=xi(t)的“弧長”是按照積分

定義起來的（其中，ρ>0)。這時，稱M為芬斯勒空間。特別是，當

時，得到黎曼空間。P.芬斯勒(1918)在其學位論文中曾經把黎曼空間的一些結果拓廣到這個空間來，但是它的微分幾何到É.嘉當(1934)才逐漸趨於完整。例如，這個空間仿射聯絡的確定，曲率論的建立等研究，都是以後才發展起來的。僅僅要指出，芬斯勒空間的測地線（即上列積分的極值曲線）的微分方程具有如下的形式：

式中是由F(x,凧)確定的某種函式組。
近年來，無限維的芬斯勒流形在非線性分析中有重要作用。
嘉當空間　在n維空間裡，以(n-1)維超曲面領域的表面積概念為基礎而構成的幾何，稱n維嘉當空間幾何。設(x)=( x1,x2,…，xn)表示空間一點的坐標,(u)=(u1,u2,…，un)表示該點切空間的(n-1)維子空間的齊次坐標，(x，u)稱為點(x)的超平面素。以B表示超平面素所成的一個區域，採用一個在B是正則的而且取正值的函式L（x,u），這裡L關於ui是正齊一次的，L(x,ρu)=ρL(x,u)，(ρ>0)，並約定,在超平面素(x,u)的(n-1)維表面積元素為

為了改寫dO,設是光滑超曲面F的正則參數表示。從(n-1)×n矩陣刪去第k行,而且用(-1)k+1pk表示這樣得出的(n-1)階行列式。那么,從上列的約定便導出一個在有向超曲面F的區域上的(n-1)重積分

它表示了這個區域的“(n-1)維表面積”。
從基本函式 L（x，u）作 且令α＝det|αik|，嘉當的測度張量可表成

這樣，這種空間微分幾何便有了發展的基礎，特別重要的是研究面積積分的第一和第二變分，以及極值離差理論，即能保持極值超曲面的無窮小變形的方程。
K展空間　設在N 維空間SN里給定了一組K 維流形，使得組中有一個且僅有一個流形通過一般位置下的任何K+1個鄰近點，或者和任何一個已知的K維元素（按照一點和其銜接的K維平坦流形組成的元素）相切。這些K維流形簡稱K展,具有這種結構的N維空間SN稱K展空間。特別是，當K=1時，SN就是道路空間。
設(xi;i=1,2,…,N)是SN的一點的坐標,那么每個K展可表成或簡寫為,式中各函式是變數u和參數α的解析函式（或充分光滑的函式）。從定義易知

如果由K展的表達式消去參數α,便獲得仿射K展空間的偏微分方程組

式中函式是p的齊二次函式。
根據J.道格拉斯導進一個仿射聯絡到仿射 K展空間SN：

　

從而把上列偏微分方程組改寫成

。

從這個仿射聯絡不但可以導出仿射曲率張量,還可作出射影聯絡以及有關的偏微分方程組的可積分條件，還可證明；嘉當的“平面公理”的成立與空間為射影平坦是等價的。

參考書目

蘇步青著：《一般空間的微分幾何學》，科學出版社，北京，1958。