面積積分

又稱面積函式，是蘇聯數學家。Η.Η.盧津1930年首先引入的一種特殊積分。

面積積分

正文

　假設ƒ(z)是單位圓|z|<1內的解析函式，ƒ┡(z)是它的導數，那么積分

(1)

稱為ƒ在點z=eiθ處的面積積分(見)，這裡δ是小於1的某個正數,Ωδ(θ)是由點eiθ引圓周Cδ(│z│=δ)的兩條切線與Cδ上被兩切點所截的、離eiθ較遠的圓弧所圍的區域。
積分(1)中的被積函式 是映射z→ƒ(z)的雅可比行列式,當ƒ(z)為一一映射時,可知(Sδ(ƒ)(θ))2正好是區域Ωδ(θ)在映射ƒ下的映像面積。面積積分的名字由此而來。
Sδ(ƒ)(θ)在某些點eiθ處，可能是無限的。但是,盧津為了研究一類解析函式的性質，證明了當 ƒ(z)∈h2，即

時,對於單位圓周上幾乎所有的eiθ，面積函式Sδ(ƒ)(θ)都是有限的，並且

， (2)

式中ƒ(eiθ)是ƒ的邊值函式；當ƒ(0)=0時,還成立下面的相反不等式

， (3)

式中Aδ是常數，決定於δ。
後來，J.馬欽凱維奇和A.贊格蒙把上述定理又推廣到函式類hp(p>0)，即滿足條件

的圓內解析函式全體。
面積積分的重要性，還在於它本質上可以局部地刻畫圓內解析函式ƒ 在邊界z＝eiθ 處非切向極限的存在性。確切地說，除了一零測度集外，圓內解析函式ƒ 在邊界z=eiθ處具有非切向極限的充分必要條件是

。

這說明Sδ(ƒ)(θ)與ƒ的邊界性質有著十分深刻的內在聯繫，因此它是表達圓內解析函式邊界性質的一個重要工具。正是這一點，它在研究高維空間的hp理論時，發揮了非常重要的作用。

配圖

相關連線