定義
如果函式f(x)在(a,b)中每一點處都可導，則稱f(x)在(a,b)上可導，則可建立f(x)的導函式，簡稱導數，記為f'(x)
如果f(x)在(a,b)內可導，且在區間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f(x)在閉區間[a,b]上可導，f'(x)為區間[a,b]上的導函式，簡稱導數 。
若將一點擴展成函式f(x)在其定義域包含的某開區間I內每一個點，那么函式f(x)在開區間內可導，這時對於內每一個確定的值，都對應著f(x)的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函式，這個函式稱作原函式f(x)的導函式，記作：y'或者f′(x)。
函式f(x)在它的每一個可導點x。處都對應著一個唯一確定的數值——導數值f′(x)，這個對應關係給出了一個定義在f(x)全體可導點的集合上的新函式，稱為函式f(x)的導函式，記為f′(x)。
導函式的定義表達式為：
導函式值得注意的是，導數是一個數，是指函式f(x)在點x0處導函式的函式值。但通常也可以說導函式為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。
分類
基本函式的導函式
導函式其中C為常數
導函式
導函式
導函式
導函式
導函式
導函式
導函式和差積商函式的導函式
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]
複合函式的導函式
設 y=u(t) ，t=v(x)，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)
複合函式與其導函式例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x
條件
如果一個函式的定義域為全體實數，即函式在上都有定義，那么該函式是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。 函式在定義域中一點可導需要一定的條件是：函式在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在它的左右極限存在且相等）推導而來。
例如：f(x)=|x|在x=0處雖連續，但不可導（左導數-1，右導數1）
導函式上式中，後兩個式子可以定義為函式在處的左右導數：
| 左導數：f(x-)=-1 |
| 右導數：f(x-)=1 |
單調性
一般地，設函式y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間y'>0，那么函式y=f(x)在這個區間上為增函式：如果在這個區間y'<0，那么函式y=f(x)在這個區間上為減函式；如果在這個區間y'=0，那么函式y=f(x)在這個區間上為常數函式
導數極值
導函式 導函式 導函式 導函式 導函式 導函式一般地，設函式y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果的值比附近所有各點的函式值都大，我們說是函式y=f(x)的一個極大值；如果的值比附近所有各點的函式值都小，我們說是函式y=f(x)的一個極小值。極大值與極小值統稱極值。
在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變數的值，極值指的是函式值。請注意以下幾點：
1．極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函式值與它附近點的函式值比較是最大或最小，並不意味著它在函式的整個的定義域內最大或最小。
2．函式的極值不是唯一的。即一個函式在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。
3．極大值與極小值之間無確定的大小關係。即一個函式的極大值未必大於極小值。
4．函式的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點。而使函式取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。
導函式 導函式 導函式 導函式 導函式 導函式 導函式 導函式5．在函式取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有 f'(x) =0。但反過來不一定。如函式y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點的函式值既不比它附近的點的函式值大，也不比它附近的點的函式值小。 若滿足 =0，且在的兩側f(x)的導數異號，則是f(x)的極值點，是極值，並且如果 在x0兩側滿足“左正右負”，則是f(x)的極大值點，f()是極大值；如果 在x0兩側滿足“左負右正”，則是f(x)的極小值點，f()是極小值。
6.極值與最值的區別：極值是在局部對函式進行比較，最值是在整體區間上對函式值進行比較
