隨機過程的極限定理
正文
討論一列隨機過程的機率分布和樣本函式極限性質的一類定理。在實值隨機過程樣本函式所構成的函式空間（簡稱樣本空間）上，依不同情況引進函式間的距離，使它成為度量空間，隨機過程式列 xn＝{xn(t),t∈T}，n＝1,2,…,在此樣本空間上導出的機率分布序列記為{pn}。將分布函式序列{Fn}的弱收斂概念加以推廣，可以研究序列{pn}的弱收斂問題，也可以研究過程樣本函式列以機率1收斂的問題，後者有時也稱為強收斂問題。機率測度弱收斂 用 ε表示度量空間E上的波萊爾域,即由E中的開集全體生成的σ域。設pn(n=1,2,…),p為可測度量空間(E,ε)上的機率測度，若對ε中的任一集合A，只要其邊界嬠A的p測度p(嬠A)為零，就有
是可分完備的；另一個是區間【0, 1】上右連續、左極限存在的函式全體所組成的空間D【0,1】，引進適當的距離（斯科羅霍德距離）可使它成為可分完備度量空間。 唐斯克不變原理 1946年P.愛爾特希和M.卡茨在討論獨立同分布隨機變數序列{ξn}的部分和
的某些連續泛函（如
）的極限分布時,發現其極限分布與ξn原始的公共分布無關, 這樣為了求極限分布，只要就ξn服從特殊且簡單的公共分布的情形求出即可。由於極限分布不隨原始分布的變化而改變，以後就稱這種性質為“愛爾特希-卡茨不變原理”。1949年 J.L.杜布指出柯爾莫哥洛夫－斯米爾諾夫統計量的極限分布與布朗橋的上確界的分布相同，這一事實引起機率統計學界的注意。1951年，M.唐斯克首先證明了下列著名的不變原理:設{ξn,n≥1}是獨立同分布隨機變數序列，其公共分布具有零均值Eξn=0和有限方差
，
是它的部分和序列,考慮由部分和序列引出的下列隨機過程式列 xn={xn(t),0≤t≤1} (n=1,2,…),
同樣，這一結果之所以稱為（弱）不變原理，是因為極限分布W 不依賴原序列{ξn,n≥1}的公共分布。唐斯克不變原理所含的內容相當豐富,由它容易推出愛爾特希-卡茨不變原理與中心極限定理。1952年，唐斯克還對杜布指出的結論給出了嚴格的證明。雖然唐斯克不變原理僅僅討論了上述特殊的部分和過程的弱極限，但是它開創了一般隨機過程弱收斂問題的研究。 普羅霍羅夫定理 隨機過程弱收斂的基本問題是尋求度量空間上機率測度列pn弱收斂到機率測度 p的充分必要條件。ю.Β.普羅霍羅夫和A.B.斯科羅霍德分別就C【0,1】和D【0,1】這兩個具體的度量空間得到了下列充分必要條件：
① pn的有限維分布弱收斂到 p對應的有限維分布。
② {pn,n≥1}是相對緊的，即它的每一個子序列都含有弱收斂的子序列。
這樣，如何驗證機率測度族的相對緊性就成為驗證機率測度列弱收斂的關鍵，這方面的重要結果是1956年普羅霍羅夫證明的下列定理：可分完備度量空間E上以A為指標集的機率測度族∏={pα,α∈A}是相對緊的充分必要條件為Π是胎緊的,即對任給ε>0,存在空間E的緊子集K，使得pα(K)>1-ε對一切α∈A成立。由此,可利用函式論的有關結果給出空間C【0，1】和D【0，1】上機率測度列{pn,n≥1}弱收斂的各種具體條件。
強不變原理 仍考慮由同一機率空間上獨立同分布的隨機變數序列{ξn,n≥1}所引出的上述隨機過程列xn，n=1，2,…。為簡單計，假定Eξn＝0，varξn=1。用K表示 C【0，1】 中滿足如下性質的絕對連續函ƒ(t)的全體：
1964年，V.斯特拉森證明，隨機過程列
，機率為1地相對緊,而且它的極限點集就是K。這個定理討論的是隨機過程式列機率為1的極限性質,而這一性質也不隨ξn的公共分布而改變，故稱為“強不變原理”。若考慮Tn(t)在t=1處所取的隨機變數，則從斯特拉森強不變原理直接得到經典的重對數律這一相當深刻的結果。1965年，斯特拉森把他的結果推廣到鞅情形，以後還被推廣到{ξn}為各種相依的情形。 隨機過程的極限定理可以看作是機率論中的經典極限定理在函式空間中的推廣，所得到的結果是很深刻的，從弱大數律（見大數律）到中心極限定理是一種精確化，而弱不變原理又把精確化了的中心極限定理推廣到隨機過程式列的情形。從強大數律到重對數律也是一種精確化，而強不變原理起到了類似的作用。
參考書目
P.比林施勒著，戴永隆、鍾洵譯，《機率測度的收斂性》，上海科學技術出版社，上海。(P. Billingsley,Convergence of Probability Measure,John Wiley & Sons, New York,1968.)
V.Strassen,An lnvariance Principle for the Law of the lterated Lograithm,Z.Wαhrscheinlichkeits Theorie und Verw. Gebiete,3, pp.211～226,1964.
