機率論中的收斂
正文
機率論中的極限定理和數理統計學中各種統計量的極限性質，都是按隨機變數序列的各種不同的收斂性來研究的。設{Xn,n≥1}是機率空間(Ω,F,P)（見機率）上的隨機變數序列，從隨機變數作為可測函式看，常用的收斂概念有以下幾種：
以機率1收斂 若
,則稱｛Xn,n≥1｝以機率1收斂於X。強大數律（見大數律）就是闡明事件發生的頻率和樣本觀測值的算術平均分別以機率 1收斂於該事件的機率和總體的均值。以機率 1收斂也常稱為幾乎必然（簡記為α.s）收斂,它相當於測度論中的幾乎處處（簡記為α.e.）收斂。 依機率收斂 若對任一正數ε,都有
，則稱{Xn,n≥1}依機率收斂於X。它表明隨機變數Xn與X發生較大偏差(≥ε)的機率隨n無限增大而趨於零。機率論中的伯努利大數律就是最早闡明隨機試驗中某事件 A發生的頻率依機率收斂於其機率P(A)的。依機率收斂相當於測度論中的依測度收斂。 r階平均收斂 對r≥1,若Xn-X的r階絕對矩(見矩)的極限
,則稱{Xn,n≥1}r階平均收斂於X。特別，當r=1時，稱為平均收斂；當r=2時,稱為均方收斂，它在寬平穩過程（見平穩過程）理論中是一個常用的概念。 弱收斂 設Xn的均值都是有限的，若對任一有界隨機變數Y都有
,則稱{Xn,n≥1}弱收斂於X。由平均收斂可以推出弱收斂。 從隨機變數的分布函式（見機率分布）看，常用的有如下收斂概念。
分布弱收斂 設Fn、F分別表示隨機變數Xn、X的分布函式,若對F的每一個連續點x都有
，則稱Xn的分布Fn弱收斂於X的分布F,也稱Xn依分布收斂於X。分布弱收斂還有各種等價條件，例如,對任一有界連續函式ƒ(x)， img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。
分布弱收斂是機率論和數理統計中經常用到的一種收斂性。中心極限定理就是討論隨機變數序列的標準化部分和依分布收斂於正態隨機變數的定理。大樣本統計中也要討論各種統計量依分布收斂的問題。分布淡收斂 設{Fn(x)，n≥1}為分布函式列，而F(x)為一非降右連續函式（不一定是分布函式），若對F(x)的每一個連續點x 都有
，則稱Fn淡收斂於F。 上述各種收斂之間有如下蘊含關係（A崊B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,則有:
。此外，依機率收斂於常數與依分布收斂於常數是等價的。當
是獨立隨機變數序列{Yj,j≥1}的部分和時，Xn依分布收斂、依機率收斂和以機率1收斂三者是等價的。 隨著機率論的發展，上述收斂概念還推廣到取值於一般可測空間（見測度論）的隨機元（見隨機過程）序列的各種收斂性。例如隨機過程式列的分布弱收斂（見隨機過程的極限定理），巴拿赫空間隨機元序列的收斂等。
參考書目
嚴士健、王雋驤、劉秀芳著:《機率論基礎》,科學出版社,北京,1982。
