正文
通常有兩種解析開拓的方法,一是利用施瓦茲對稱原理,一是利用冪級數展開式。對於一個解析函式來說，它的定義域可能完全不能開拓，這時稱定義域具有自然邊界，有例子說明這點。另一情況是，定義域逐次開拓後已不是平面域，而是復蓋在平面上的多葉域，函式本身是多值函式。據此，K.（T.W.）外爾斯特拉斯用冪級數解析開拓，引入完全解析函式與黎曼曲面的概念。
施瓦茲對稱原理是把解析函式定義域作對稱擴大的解析開拓法,其基本原理是：設
的定義域
在上半平面內，且以實軸上線段у為部分邊界，
在
+γ上有定義且連續，在
內解析,在γ上
取值平面上實軸的值。
關於實軸的對稱域
定義為{
:墫∈
}，則
可解析開拓為域
+γ+
的解析函式
,當
∈
+γ時,
(
)=
(
),當
∈
時,
解析開拓。如果把原理中的上半平面改為圓,實軸上的γ改為圓周上的弧,
改為
關於圓周對稱的域，利用線性分式變換，可以證這一原理仍成立。
此外，
在γ上可以改為取值平面上某圓周上的值。更一般的情況，如果
的定義域
的邊界有一段解析弧γ，
在
+γ上連續，在
內解析,在γ上
取值在值平面的圓弧或解析弧上,則可證明，
可越過γ進行解析開拓,使開拓後的域包含γ 在內部。對稱開拓法一般套用於多邊形域，模函式的構造就是典型的例子。
完全解析函式是外爾斯特拉斯引入的解析函式的概念，它是冪級數定義的解析函式元素經所有可能的解析開拓而成的整體。
函式元素是指具有非零半徑的收斂圓的冪級數
解析開拓解析開拓，
稱為元素的中心。
(
)是收斂圓內的解析函式。用有序對(
,
)表示這樣的元素。函式(
,
)稱為(
,
)的直接開拓,如果
在(
,
)的收斂圓內，在
的鄰域內
(
)=
(
)。在平面上給定一弧у(
)，0≤
≤1，у的起點у(0)=
,終點у(1)=
。元素(
,
)稱為(
,
)沿弧у的解析開拓，如果對每一個
,0≤
≤1，存在惟一的函式元素(у(
),
),使得對每個固定的
，0≤
≤1，當
充分接近
時，
總是
解析開拓的直接開拓，另外
=
，
=
。函式元素沿弧的解析開拓總是惟一的。給定一個函式元素，沿所有可能的平面上弧的解析開拓得到的函式元素的全體,用
表示之,稱之為完全解析函式。
是一個函式元素集,它是一個解析函式,它局部地等於其中每一個函式元素,它是一個多值函式。
的定義域一般已不是平面域。這個定義域局部地看是其中函式元素的收斂圓，它是這些收斂圓按對應元素的解析開拓連線而成的，復蓋在平面上的多葉域。按現代黎曼曲面定義，選取收斂圓作為局部參數鄰域，
作為局部參數，
的定義域是一個黎曼曲面,
是其上的單值解析函式。通常研究多值解析函式時，要分出它的單值分支。對此要用到所謂單值性定理，其具體的形式是：如果一個函式元素在一個單連通域內，沿所有的弧可以解析開拓，則開拓後得到一個惟一的單值解析函式，它在這單連通域內每點上的值等於函式元素的值。對於
來說，套用單值性定理,找出適當的單連通域,便分出
對應於其上的單值分支。完全解析函式最簡單的例子是
解析開拓,它的定義域是復蓋在除去0點的平面上的兩葉域。按單值性定理,在割去正實軸的平面上，它有兩個單值分支，它的定義域即黎曼曲面是由這兩葉割裂平面按兩個單值分支的解析開拓連線得到。這裡
解析開拓的定義域不包含0點與∞點， 因此還要引入解析構形的概念。首先要擴充函式元素的概念。考慮形如
解析開拓的級數，式中
是正整數，
是整數
解析開拓。這級數在一個
葉圓上收斂，它是一個解析函式。當
=1時它就是前面的函式元素，稱為正則函式元素，其中
<0時稱為極函式元素；當
<1時稱為代數函式元素,中心
稱為分支點,它的階為
-1。對於擴充後的函式元素，同樣可以定義直接開拓，及沿平面弧的解析開拓。極元素及代數函式的直接開拓是正則元素。對於擴大的函式元素類，給定一個函式元素，沿平面上所有弧的解析開拓得到函式元素的全體，記之為
，稱為解析構形。
是一個解析函式，它的值局部地由函式元素的值確定。它的定義域是正則元素的收斂圓及代數函式的λ葉圓經解析開拓連線而成,它是一個黎曼曲面,在這裡對於代數函式元素，取對應的
葉圓作為局部參數鄰域，
=
+
作為參數映射，
作為局部參數。
是這黎曼曲面上的單值解析函式。從這一過程中可知，一個完全解析函式附加上所有極元素和代數函式元素後就成為解析構形。上面提到的
解析開拓,加上0 點及∞點的對應代數函式元素就是一個解析構形的最簡單例子，這時它的黎曼曲面成為閉曲面。解析構形的概念大大拓廣了解析函式的概念，例如，它使我們能夠定義代數函式及代數體函式。它使得一切解析函式都存在反函式，這些函式都是解析構形。
