線性無關

線性無關，就是在一組數據中沒有一個量可以被其餘量表示。線上性代數裡，向量空間的一組元素稱為線性無關（或稱線性無關），如果其中沒有向量可表示成有限個其他向量的線性組合，反之稱為線性相關。

基本信息

• 中文名：線性無關
• 英文名：linearly independent

• 別稱：線性獨立
• 反義詞：線性相關

定義

設n維向量組線性無關

線上性代數裡，向量空間的一組元素稱為線性無關(或稱線性無關)，如果其中沒有向量可表示成有限個其他向量的線性組合，反之稱為線性相關。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

相關性

含有零向量的向量組，必定線性相關。
若有向量組a1,a2,...,as，其中a1 = 0，則。
含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。
若有向量組a1,a2,...,as，其中a1 = a2，則。
若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
整體線性無關，局部必線性無關。
向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
若a1,a2,...,as線性無關，而b,a1,a2,...,as線性相關，則b必可由a1,a2,...,as線性表示，且表示係數唯一。
有向量組I{a1,a2,...,as}和II{b1,b2,...,bt}，其中t > s，且II中每個向量都可由I線性表示，則向量組II必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
若一向量組b1,b2,...,bt可由向量組a1,a2,...,as線性表示，且b1,b2,...,bt線性無關，則。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

示例

例如，一個三維空間，那么必須用三個線性無關的向量來表示，如果在加上另外一個向量，那么這個向量必然可以由上述三個向量唯一的線性表出。在三維空間裡，互相垂直的三個坐標軸就是一組最簡單的現行無關的向量。並且是三維空間上的極大無關組。其實，只要是不在同一平面的三個互不平行的向量都可以組成三維空間上的極大無關組。那也就是線性無關的。至於如何理解線性相關和現行無關，其實很簡單，舉個線性空間上的例子，只要考察這一組向量是否能構成對應維數的線性空間上的極大無關組，也就是說這個維數空間上是否是所有的量都可以通過這組向量表示出。再比如，對一個三維空間，如果有三個向量，並且都在同一平面內，那么這三個向量無法表示出整個三維空間裡的所有向量，因為這三個向量是線性相關的.