約分術

最早的文字記載見於《九章算術》“方田”章“約分術”,用於求一個分數的分子、分母的最大公約數.具體方法參見“約分”條.後又被中國古代數學家推廣套用於求最低公倍數、解一次不定方程和一次同餘式組以及解線性方程組等. 約分術有以下七種:1.約分術 2. 密率術 3. 盈不足術4. 方程術5.少廣術6. 均輸術7. 衰分術

約分術

又有九十一分之四十九。問約之得幾何?

答曰:十三分之七。

約分術曰:可半者半之,不可半者,副置分母子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約

密率術

又有環田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,徑十二步、三分步之二。問為田幾何?

答曰:四畝一百五十六步、四分步之一。

術曰:並中外周而半之,以徑乘之為積步。

密率術曰:置中外周步數,分母、子各居其下。母互乘子,通全步,內分子。以中周減外周,余半之,以益中周。徑亦通分內子,以乘周為實。分母相乘為法,除之為積步,余積步之分。以畝法除之,即畝數也。

盈不足術

今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十。問家數、牛價各幾何?

答曰:一百二十六家,

牛價三千七百五十。

盈不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,並以為實。並盈、不足為法。實如法而一。有分者,通之。盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,法為人數。

方程術

今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?

答曰:

上禾一秉,九斗、四分斗之一,

中禾一秉,四斗、四分斗之一,

下禾一秉,二斗、四分斗之三。

方程術曰,置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗,於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。余如中禾秉數而一,即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。

少廣術

少廣術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步,各以其母除其子,置之於左。命通分者,又以分母遍乘諸分子,及已通者皆通而同之,並之為法。置所求步數,以全步積分乘之為實。實如法而一,得從步。

今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?

答曰:一百六十步。

術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,並之得三,為法。置田二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。

均輸術

均輸術曰:令縣戶數,各如其本行道日數而一,以為衰。甲衰一百二十五,乙、丙衰各九十五,丁衰六十一,副並為法。以賦粟、車數乘未並者,各自為實。實如法得一車。有分者,上下輩之。以二十五斛乘車數,即粟數。

衰分術

衰分術曰:各置列衰,副並為法,以所分乘未並者各自為實,實如法而一。不滿法者,以法命之。

術曰:列置爵數,各自為衰,副並為法。以五鹿乘未並者,各自為實。實如法得一鹿。

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