字母表達
立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)
a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)
3項立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
推導過程：
a³+b³+c³-3abc
=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)
=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
文字表達
立方和，差公式：兩數和（差），乘它們的平方和與它們的積的差（和），等於這兩個數的立方和（差）
3項立方和公式：三數之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等於這三個數的立方和減三數之積的三倍
公式延伸
正整數範圍中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2
公式證明
1疊代法：
我們知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，疊代即得。
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
係數可由楊輝三角形來確定
那么就得出：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
於是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左邊=(N+1)^4-1
右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上這已經證得的三個公式代入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移項後得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等號右側合併同類項後得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成！
立方和公式推導完畢
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
2. 因式分解思想證明如下：a^3+b^3=a^3+a^2*b+b^3-a^2*b
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)
一般而言，任取一自然數N，他的因數有1，n1,n2,n3,……，nk,N，這些因數的因數個數分別為1，m1,m2,m3,……,mk,k+2,則
1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3
=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2
我們發現，上述規律對素數p是永遠成立的，因為素數p的因數只有1和p，因數的個數只有1和2，所以成立。
合數的驗證方法可以從因數個數出發證明，有中學水平的人可以自己證明。
比如120，有因數
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它們的因數個數為
1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，
1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100
（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100
幾何驗證
圖象化立方和公式x^3+y^3
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：
(x+y)^3
要得到x^3+ y^3，可使用(x+ y)^3的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：
·x×y×(x+y)
·x×(x+y)×y
·(x+y)×x×y
把三個部分加在一起，便得：
=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)
=3xy(x+y)
之後，把(x+ y)^3減去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y)公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：
=(x+y)[(x+y)^2-3xy]
(x+ y)^2可透過和平方公式，得到：
=(x+ y)(x^2+ 2xy+ y^2-3xy)
=(x+ y)(x^2− xy+ y^2)
這樣便可證明：x^3+y^3=(x+ y)(x^2 − xy+ y^2)
