漸進分數

漸進分數是指一個以分數的形式出現的兩個有理數的商的近似值。

大概介紹

如我們熟知的密率355/113和約率22/7就是3.1415926/1的漸進分數
漸進分數的算法
設有兩數:a,b 不妨設a>b
運用輾轉相除法(歐幾里德算法),得:
A=A0B+R 0≤RB
B=A1R+R10≤R1<R
R=A2R1+R20≤R2<R1
………………
Rn=An+2Rn+1+Rn+20≤Rn+2<Rn+1
(算式中的粗體大寫為字母,其餘為角標

舉例說明

為方便起見,我們令a=42897 b=18644
42897=2*18644+5609
18644=3*5609+1817
5609=3*1817+158
1817=11*158+79
158=2*79
我們可以把算是寫成
42897/18644=543/236=2+1/(3+1/(3+1/(11+1/(2/1))))
這是一個大繁分數
則第一個漸進分數是:2
則第二個漸進分數是:2+1/3
則第三個漸進分數是:2+1/(3+1/3)
則第四個漸進分數是:2+1/(3+1/(3+(1/11)))
…………………………………………………………
越往後越接近原來的543/236
大家不妨試一下3.1415926/1的漸進分數
會驚奇的發現古人不知是漏了一個還是認為不好記,把333/106漏掉了

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