極化恆等式

極化恆等式(polarization identity)是聯繫內積與範數的一個重要的等式，是用範數表示內積的公式。設H是內積空間，‖·‖是由內積(·，·)導出的範數，下列等式常被稱為極化恆等式：當H是實空間時，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖-‖x-y‖)；當H是復空間時，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖-‖x-y‖+i‖x+iy‖-i‖x-iy‖)。對於實內積空間上的雙線性埃爾米特泛函以及復內積空間上的雙線性泛函φ(x，y)也分別有類似於上述的恆等式 。

基本信息

• 中文名：極化恆等式
• 英文名：polarization Identity

• 所屬學科：數學
• 屬 性：用範數表示內積的公式
• 相關概念：內積空間、範數、內積等

定義

極化恆等式

極化恆等式

極化恆等式

當 是內積空間， 是由內積所導出的範數時，內積也可以用範數來表達。當 是實內積空間時

極化恆等式

極化恆等式

當 是復內積空間時

極化恆等式

這兩個等式可以直接從內積的定義導出。等式(1)和(2)稱為 極化恆等式。

相關定理

Aldaz(2009)給出了如下有意義的結果。

定理1

極化恆等式

極化恆等式

設 是復內積空間，對任意非零向量 ，有

極化恆等式

極化恆等式

特別地，當 是實內積空間時，

極化恆等式

證明： 由極化恆等式(2)得到

極化恆等式

極化恆等式

極化恆等式

極化恆等式

極化恆等式

以 分別代替 和 ，並展開右端第一項即可得到式(3)和式(4)，式(5)的證明是類似的。證畢。

在定理1條件下，成立恆等關係

極化恆等式

定理2

極化恆等式

極化恆等式

設 是復內積空間，對任意非零向量 ，有

極化恆等式

極化恆等式

證明：不妨假設 是單位向量，由式(3)知，

極化恆等式

極化恆等式

極化恆等式

等號成立若且唯若存在 使得 ，證畢。

由式(6)容易得到GBS不等式。