格林公式
格林公式的內容表明:函式在區間上的定積分可通過原函式在這個區間的兩個端點處的值來表示.
無獨有偶,在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式.
1,單連通區域的概念
設為平面區域,如果內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於,則稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域.
通俗地講,單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.
2,區域的邊界曲線的正向規定
設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,內位於他附近的那一部分總在他的左邊.
簡言之:區域的邊界曲線之正向應適合條件,人沿曲線走,區域在左手.
3,格林公式
【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函式及在上具有一階連續偏導數,則有
(1)
其中是的取正向的邊界曲線.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【證明】先證
假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計算法有
因此
再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有
當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有
成立條件
同時成立.將兩式合併之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.
格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯繫,因此其套用十分地廣泛.
若取則格林公式為
故區域的面積為
【例1】求星形線 所圍成的圖形面積.
解:當從變到時,點依逆時針方向描出了整個封閉曲線,故
【例2】設是任意一條分段光滑的閉曲線,證明
證明:這裡 ,
從而
這裡是由所圍成的區域.
二,平面曲線積分與路徑無關的條件
1,對坐標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區域, 函式,在內具有一階連續偏導數,如果對於內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式
恆成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.
定義一還可換成下列等價的說法
若曲線積分與路徑無關, 那么
即: 在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.
【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對於內任意一條閉曲線,恆有.
2,曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區域是一個單連通域, 函式,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式
在內恆成立.
證明:先證充分性
在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而 在上恆成立.
由格林公式,有
依定義二,在內曲線積分與路徑無關.
再證必要性(採用反證法)
假設在內等式不恆成立,那么內至少存在一點,使
不妨設
由於在內連續,在記憶體在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恆有
由格林公式及二重積分性質有
這裡是的正向邊界曲線,是的面積.
這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式
應恆成立.
註明:定理所需要的兩個條件
缺一不可.
【反例】討論 ,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.
這裡除去原點外,在所圍成的區域記憶體在,連續,且 .在內,作一半徑充分小的圓周
在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有
三,二元函式的全微分求積
若曲線積分在開區域內與路徑無關,那它僅與曲線的起點與終點的坐標有關.假設曲線的起點為,終點為,可用記號
或
來表示,而不需要明確地寫出積分路徑.
顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實上,我們有下列重要定理
【定理一】設是一個單連通的開區域,函式,在內具有一階連續偏導數,且 ,則
是的單值函式,這裡為內一固定點,且
亦即
【證明】依條件知,對內任意一條以點為起點,點為終點的曲線,曲線積分 與路徑無關,僅與的起點和終點的坐標有關,亦即, 確為點的單值函式.
證明過程
由於可以認為是從點沿內任何路逕到點的曲線積分,取如下路徑,有類似地可證明
因此
【定理二】設是單連通的開區域,,在上具有一階連續偏導數,則在內為某一函式全微分的充要條件是
在內恆成立.
【證明】顯然,充分性就是定理一
下面證明必要性
若存在使得 ,則
由於 ,在 內連續, 則二階混合偏導數適合等式
從而
【定理三】設是一個單連通的開區域, 函式,在內具有一階連續偏導數, 若存在二元函式使得
則
其中,是內的任意兩點.
【證明】由定理1知,函式
適合於是或因此 (是某一常數 )
即而這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線,故因此
【確定的全微分函式的方法】
因為,而右端的曲線積分與路徑無關,為了計算簡便,可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬於單連通區域).
