電磁場的格林函式

電磁場的格林函式

正文

線上性媒質中，任意分布的簡諧(或穩恆)源所激勵的場，都可以化為單位點源所激勵的場的線性組合。在確定的媒質和邊界條件下，單位點源所激勵的場矢量或勢函式就稱為該條件下場或勢的格林函式。它們是場點位置矢徑r和源點位置矢徑r′的函式。電磁場邊值問題的解可以表示成源函式與格林函式乘積的積分。
標量格林函式　在均勻無界媒質中，自由電荷密度ρ 所產生的標勢φ在洛倫茲規範下滿足方程

(1)

式中k2=ω2εμ，該標勢的格林函式G(r，r′)應滿足方程

(2)

式中2對r點的坐標作運算,δ(r －r′)是集中作用在r′點的狄拉克δ-函式。此方程的解是

(3)

由此可得標勢的解是下列對r′的坐標的積分

(4)

當媒質為分區均勻時,在分界面上G 應滿足與φ相同的連續性條件。設G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影響，且在r →r′時應為有限值。例如在理想導體平表面S的上半空間中的格林函式為

(5)

式中第一項即為G0，第二項表示導體表面的影響，r媴是r′關於平表面的鏡象點。
如果均勻媒質空間V被閉曲面S0所包圍,套用格林第二公式，並利用格林函式的對稱性 G(r′,r)＝G(r,r′)，可得

　(6)

為了消除面積分中的未知項，應當根據φ 的已知邊界條件來規定G 的邊界條件，具體來說，當已知φ 或或的邊界值時，應相應地規定

例如，V是無限大平面S的上半空間,已知V內的源分布ρ和S上的φ 值，利用格林函式（5）式並注意到以及對於S上的源點ri=r，有

和

於是

　(7)

並矢格林函式　以上的討論也適合場或矢勢的各直角坐標分量。對於矢量源函式，通常將r′點的源矢量分解為三個正交分量,分別求出在r點的場或勢。於是對於電場和磁場矢量，共有 6個矢量格林函式，採用並矢記法，則可合併為兩個並矢格林函式。
設在r′點放置的電流源J， 它的三個分別沿正交單位矢量e媴(i=1,2,3)的電偶極矩為

　(8)

則體積V中的電流源J(r′)所產生的電場為

　 (9)

記電場和磁場的電並矢格林函式分別是

(10)

則(9)式可寫成並矢的形式

　 (11)

一般情況下，沿 e媴 方向的電偶極矩所產生的電場Ee(e媴)應滿足方程

(12)

對應有電並矢格林函式的方程

　 (13)

和關係式

(14)

在無界均勻媒質中

　(15)

對應有電並矢格林函式

　(16)

式中是單位並矢，
當r →r′時,Ee為|r →r′|-3的量級,所以當J(r)厵0時,在數學上不收斂,應當取其主值。因此，一般應使 　(17)這裡V0是包含r 點的某種形式的微體積；是一個並矢，V0→r表示V0全部的點趨近於r點。
同樣,還可以規定另一對磁並矢格林函式和，它們對應了沿e媴方向的磁偶極矩所產生的電磁場Em（r,r′;ei）和Hm（r,r′;e媴），並有關係式

　 (18)

它們滿足方程

(19)

和關係式

(20)

參考書目
　P.M.　Morse　 and　 H.　Feshback，Methods of　Theoretical　physics，McGraw-Hill，Inc.,New York，Kōgakusha Co.,Ltd.Tokyo,1953.
　C.　T.　Tai，Dyadic　 Green's　 Functions　 in　Electromagnetic Theory ,Intext Educational Pub.,Scranton,1971.

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