康托爾定理

康托爾定理：用P(X)記X的一切子集構成的集，用cardX表示X的勢，康托爾定理如下：cardX<cardP(X)
.證明：對於空集來說，上述結論顯然成立，所以可設X≠空集。因為P(X)含有X的一切單元素子集，故cardX≤cardP(X),現只需證明兩者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是雙射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那樣一些元素x∈X,x不含於它對應的集f(x)∈P(X),，組成的。因為A∈P(X)，所以必能找到一個元素a∈X,使f(a)=A,這個元素a∈X既不能有a∈A(據A的定義)，也不能有a不∈A（也是根據A的定義）,這與排中律矛盾。得證。