布爾格

布爾格

在數學中,布爾格是與布爾代數有密切關係的一類格,一個有補分配格稱為布爾格,由一個布爾格〈L,≤〉可以誘導出一個布爾代數〈L,·,+,′,0,1〉,在布爾格〈L,≤〉中可以定義出兩個二元運算·,+:a·b=infa,b,a+b=supa,b,由於布爾格是有界格,因此它必有最大元和最小元,分別記為1和0,且有a·1=a,a+0=a,由於布爾格是有補格,故對任意元素a∈L,存在元素a′∈L,使得a·a′=0, a+a′=1,又由於布爾格是分配格,即有a·(b+c)=(a·b)+(a·c),a+(b·c)=(a+b)·(a+c),故〈L,·,+,′,0,1〉是由〈L,≤〉誘導出的布爾代數 。 布爾格還指城鎮名。在今法國東部,臨雷蘇茲河。公元11世紀建為集市。1250年獲特許狀。15世紀初成為布雷斯省最大城市。今為安省省會。市記憶體有哥德式布魯教堂和16世紀建的聖母教堂 。

基本信息

基本介紹

布爾格是布爾代數的等價概念,布爾(G.Boole)研究命題演算時發現的,也是最早研究的格,有補的分配格稱為布爾格,若布爾格僅含一個元素,則稱為平凡布爾格,亨廷頓(E.V.Huntington)把布爾格表征為每一元a都有惟一的補元a′,且滿足(a∧b)′=a′∨b′和(a∨b)′=a′∧b′的格,若在布爾格(B;∧,∨)中把取補記成一元運算“′”,把0,1看做兩個零元運算,則(B;∧,∨)就成為布爾代數(B;∧,∨,′,0,1);反之,若在布爾代數中把二元運算∧,∨看成是格運算,把一元運算“′”看成是格中的元取補元時,它就成為布爾格.因而常把布爾格與布爾代數等同起來 。

定義

有補分配(complemented distributive)格定義

設<A,≤,∨,∧>是一個有界格,如果A既是有補格,又是分配格,那么A被稱為有補分配格 。

定理 設<A,≤,∨,∧>是一個有補分配格,A上每個元素都有唯一補元。

證明 有補格一定存在全上界1,和全下界0。有補格的每個元素至少有一個補元,因為格<A,≤,∨,∧>又是分配格,所以<A,≤,∨,∧>每個元素的補元唯一。

布爾格 布爾格

有補分配格上,每個元素的補元存在且唯一,此時元素x的補元可記為。

布爾格(Boolean lattice)定義

若<A,≤,∨,∧,1,0>是有補分配格,則稱其為布爾格。

布爾代數(Boolean algebra)定義

設<A,≤>是一布爾格,將對A上每個元素的求補看成一元補運算“﹣”,則布爾格可記為<A,≤,∨,∧,﹣,1,0>,並稱<A,∨,∧,﹣>為布爾代數。

原子(atom)定義

設<A,≤,∨,∧,1,0>是有界格,

A上蓋住全下界0的元素被稱為A上的原子。

A上被全上界1蓋住的元素被稱為A上的反原子。

布爾格是有界格,任何布爾格A,|A|>2。必存在正原子和反原子。一般稱正原子為原子。全上界1和全下界0不是原子 。

相關定理

布爾格 布爾格

定理1 設<A,≤,∨,∧,﹣>是任意布爾格,那么,

以下十大定律成立 :

布爾格 布爾格

對合律:

冪等律:a∨a=a

交換律:a∨b=b∨a

結合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c)

分配律:a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

吸收律:a∧(a∨b)=a

同一律:a∨0=a

零律:a∨1=1

布爾格 布爾格

互補律:a∨=1

布爾格 布爾格

De.Morgan律:

定理2 設<A,≤,∨,∧,﹣>是一布爾格,任意原子a∈A,與另一個非零元素b∈A之間,必有且僅有a≤b或a≤6兩者之一成立 。

定理3 設<A,≤,∨,∧,﹣>是一有限布爾格,b∈A是任意一個非0元素,至少存在一個原子a∈A,使a與b同在一條鏈上 。

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