示例
如：方程AX=b 係數 矩陣為A，它的增廣矩陣為(A b)。
增廣 矩陣通常用於 判斷矩陣的有解的情況，比如說
秩（A)<秩（A b) 方程組無解；>
r（A)=r（A B)=n，方程組有唯一解；
r（A)=r（A B)
r（A)>r（A B)不可能，因為增廣 矩陣的秩大於等於 係數矩陣的秩。
對於方程組(1):
a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1（1）
a21 x1+a12 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2（2）
……………………
ai1 x1+ai2 x2+ai3 x3+ … +ain xn=bi（i）
……………………
am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm（m)
分類
係數矩陣為:
[ a11 a12 a13 …a1n ]
[ a21 a22 a23 …a2n ]
[ …………………… ]
[ ai1 ai2 ai3 … ain ]
[ …………………… ]
[am1 am2 am3…amn]
增廣 矩陣為：
[ a11 a12 a13 …a1n b1 ]
[ a21 a22 a23 …a2n b2 ]
[ ……………………… ]
[ ai1 ai2 ai3 … ain bi ]
[ ……………………… ]
[am1 am2 am3…amn bm]
【補充】上面說的只是在解 線性方程組的時候，對 係數矩陣進行的一個增廣矩陣，切勿以為增廣矩陣只是右端添加一列，其實是在原矩陣的右端添加一個矩陣，而線性方程組的右端恰好是一個列數為1的矩陣。
如給定一個三階 矩陣A，設為
1 2 3
4 5 6
7 8 9
則（A,E）為
1 2 3 1 0 0
4 5 6 0 1 0
7 8 9 0 0 1
A的行最簡形為 1 2 3
0 1 -6
0 0 0
在同濟大學版《線性代數》課本64頁上的例題可以找到佐證。
