地圖投影:地圖投影是利用一定數學方法則把地球表面的經、緯線轉換到平面上的 -百科知識中文網

概念

由於球面上任何一點的位置是用地理坐標（λ，φ）表示的，而平面上的點的位置是用直角坐標（χ，у）或極坐標（r，）表示的，所以要想將地球表面上的點轉移到平面上，必須採用一定的方法來確定地理坐標與平面直角坐標或極坐標之間的關係。這種在球面和平面之間建立點與點之間函式關係的數學方法，就是地圖投影方法。

地圖投影變形是球面轉化成平面的必然結果，沒有變形的投影是不存在的。對某一地圖投影來講，不存在這種變形，就必然存在另一種或兩種變形。但製圖時可做到：在有些投影圖上沒有角度或面積變形;在有些投影圖上沿某一方向無長度變形。

地球橢球體表面是個曲面，而地圖通常是二維平面，因此在地圖製圖時首先要考慮把曲面轉化成平面。然而，從幾何意義上來說，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，勢必會產生破裂與褶皺。這種不連續的、破裂的平面是不適合製作地圖的，所以必須採用特殊的方法來實現球面到平面的轉化。

球面上任何一點的位置取決於它的經緯度，所以實際投影時首先將一些經緯線交點展繪在平面上，並把經度相同的點連線而成為經線，緯度相同的點連線而成為緯線，構成經緯網。然後將球面上的點按其經緯度轉繪在平面上相應的位置。由此可見，地圖投影就是研究將地球橢球體面上的經緯線網按照一定的數學法則轉移到平面上的方法及其變形問題。其數學公式表達為：

χ=f1(λ，φ)y=f2(λ，φ)（2-1）

根據地圖投影的一般公式，只要知道地麵點的經緯度（λ，φ），便可以在投影平面上找到相對應的平面位置（χ，у），這樣就可按一定的製圖需要，將一定間隔的經緯網交點的平面直角坐標計算出來，並展繪成經緯網，構成地圖的“骨架”。經緯網是製作地圖的“基礎”，是地圖的主要數學要素。

原理

由於投影的變形，地圖上所表示的地物，如大陸、島嶼、海洋等的幾何特性（長度、面積、角度、形狀）也隨之發生變形。每一幅地圖都有不同程度的變形；在同一幅圖上，不同地區的變形情況也不相同。地圖上表示的範圍越大，離投影標準經緯線或投影中心的距離越長，地圖反映的變形也越大。因此，大範圍的小比例尺地圖只能供了解地表現象的分布概況使用，而不能用於精確的量測和計算。

地圖投影的實質就是將地球橢球面上的地理坐標轉化為平面直角坐標。用某種投影條件將投影球面上的地理坐標點一一投影到平面坐標系內，以構成某種地圖投影。

發展簡史

地圖投影最早用來編制天體圖，用於編制地球表面的地圖是始於公元前 3世紀的埃拉托色尼。他編制的以地中海為中心的當時已知世界的地圖上套用了經緯線互相垂直的等距離圓柱投影。16世紀G.墨卡托創用正軸等角圓柱投影，編制了供航海用的世界地圖。17～18世紀，地圖投影逐漸具有現代的特點，並於實測地形圖如西歐三角測量套用了卡西尼父子設計的投影；J.H.蘭勃特提出等角投影的理論，並設計出等角圓錐、等面積方位和等面積圓柱投影；19世紀，由於軍事製圖的發展和地形測量的擴大，地圖投影主要保證大比例尺地圖的數學基礎。德國C.F.高斯設計提出橫軸等角橢圓柱投影（高斯投影），後經德國J.克呂格爾對投影公式加以補充,稱之為高斯-克呂格爾投影。19世紀末期以後俄國和蘇聯一些學者對投影作了較深入研究。П.Л.切比雪夫、Н.я.青格爾、Ф.Н.克拉索夫斯基和В.В.卡夫賴斯基等人,分別對圓錐投影常數的確定提出新見解;Н.А.烏爾馬耶夫撰寫《新投影探求法》和《數學製圖學研究》，書中提出根據已知變形分布推求新投影的方法、利用數值法求出投影坐標的新方法。20世紀60年代以來，美國等國學者提出空間投影、變比例尺地圖投影和多焦點地圖投影，為人造地球衛星等提供了所需的投影。中國自20世紀50年代以來對地圖投影也作了較深入研究，提出了雙重方位投影、雙標準經線等角圓柱投影等新投影法；出版了不少地圖投影用表集；為適應計算機輔助地圖製圖的需要，提供了不少地圖投影的變換方法。

基本方法

1.幾何透視法

幾何透視法是利用透視的關係，將地球體面上的點投影到投影面（藉助的幾何面）上的一種投影方法。如假設地球按比例縮小成一個透明的地球儀般的球體，在其球心或球面、球外安置一個光源，將球面上的經緯線投影到球外的一個投影平面上，即將球面經緯線轉換成了平面上的經緯線。幾何透視法是一種比較原始的投影方法，有很大的局限性，難於糾正投影變形，精度較低。絕大多數地圖投影都採用數學解析法。

2、數學解析法

數學解析法是在球面與投影面之間建立點與點的函式關係，通過數學的方法確定經緯線交點位置的一種投影方法。大多數的數學解析法往往是在透視投影的基礎上，發展建立球面與投影面之間點與點的函式關係的，因此兩種投影方法有一定聯繫。

地圖投影的建立系假定有一個投影面(平面、可展的圓錐面或圓柱面)與投影原面（地球橢球面）相切、相割或多面相切,如圖1

所示。用某種投影條件將投影原面上的地理坐標點一一投影到平面坐標系內，即構成某種地圖投影。其實質是將地球橢球面上地理坐標(φ、λ)轉化為平面直角坐標(x、y)。它們之間的數學關係式為：
x=f1(φ、λ)；y=f2(φ、λ)
式中f1、f2為函式。

投影變形

地圖是一個平面，而地球橢球面是不可展的曲面，把不可展的曲面上的經緯線網描繪成平面的圖形，必然會發生各種變形。這就使地圖上不同點位的比例尺不能保持一個定值，而有主比例尺和局部比例尺之分。通常地圖上註明的比例尺系主比例尺，是地球縮小的比率，而表現在不同點位上的實際比例尺稱之為局部比例尺。地圖投影的變形，有角度變形、面積變形和長度變形。但不是所有投影都有這3種變形,等角投影就沒有角度編形，等面積投影就沒有面積變形，其他投影這 3種變形都同時存在。了解某種投影變形的大小和分布規律，才能明確它的實際套用價值。地圖投影的變形可用變形橢圓形象地來解釋。變形橢圓是地球橢球面上以一點的半徑為單位值的微分圖，投影在平面上一般是一個微分橢圓。用它可以解釋投影變形的特性和大小。

投影分類

地圖投影大都按投影的變形性質或正常位置下投影的經緯線形狀進行分類的。按投影變形的性質,地圖投影分為：等角投影。因a=b，所以這種投影保持小面積圖形與實地相似，或者說兩個方向之間的夾角大小投影后保持不變。等面積投影。因abπab=π, 而實地微分圓面積πr=π(因r =1)，兩者相等，所以投影后面積不變。任意投影。凡不屬於等角投影或等面積投影都可稱之為任意投影,其中a或者b等於1的投影稱耶為等距離投影。等距離投影能保持一定方向上線段的長度不變。

按正常位置下經緯線形狀，地圖投影分為：方位投影。緯線投影為同心圓,經線投影為同心圓的半徑,兩經線間的夾角與相應的經差相等。圓柱投影。緯線投影為一組平行直線，經線投影為一組與緯線正交的平行直線，其間隔與相應的經差成正比。圓錐投影。緯線投影為同心圓弧，經線投影為同心圓弧的半徑，兩經線間夾角與相應的經差成正比。此外，地圖投影還有正軸、橫軸和斜軸之分,並有切割的區別.

常用投影

1.高斯-克呂格爾投影。這種投影假想有一個橢圓柱套在地球橢球的外面，並與某一子午線相切（此子午線叫中央子午線），橢圓柱的中心軸通過地球橢球的中心，然後用等角條件(a=b),將中央子午線東西兩側各一定經差範圍的地區投影到橢圓柱面上，將柱面展成平面即成。這種投影在高緯度地面精度較好，在低緯度地區精度較差。