簡介
單葉函式若解析函式ƒ(z)在D中單葉,則ƒ┡(z)≠0在D中成立；反之，ƒ┡(z)≠0在D中成立,不一定能保證ƒ(z)在D中單葉，只能說在一點的一個鄰域內單葉。
最早對單葉函式有重要貢獻的是P.克貝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.費伯(1916)等。例如，比伯巴赫證明了重要的偏差定理：若 ƒ(z)在｜z｜<1中正則單葉，且ƒ(0)＝0,ƒ┡(0)＝1,則
；等號限於克貝函數
時成立。在證明這些不等式時，比伯巴赫討論了單葉的半純函式 
,給出了面積原理：g(
)將││>1映射的區域的余集的面積是非負的，這可寫成
。由此他證明：若ƒ(z)＝z＋
在｜z｜<1中解析單葉，則|α2|≤2。由此可導出克貝掩蓋定理:｜z｜<1經w =ƒ(z)映射後的像一定掩蓋｜w｜< 1/4的圓；若且唯若ƒ(z)為克貝函式時，正好掩蓋｜w｜< 1/4的圓。再進一步的結果就是偏差定理。對於單葉函式，有很多有趣的幾何性質,如 Γ.М.戈盧津證明了如下迴轉定理：若
在｜z｜< 1中正則單葉，則對｜z｜＝r時，有|argƒ┡(z)|≤4sin-1 r,當
;
,當
。又如戈盧津證明了n-截線定理:若ƒ(z)=z+在z<1中正則單葉,w =ƒ(z)將｜z｜<1映為R，則一定存在從w =0齣發在R 內的n 條射線，兩條相鄰射線的夾角為2π/n，使得這n條射線的總長至少為n。1916年，比伯巴赫提出了一個猜想:若在|z|<1中正則單葉,則|αn|≤n對所有n都成立,等號成立限於克貝函式。這個猜想稱為比伯巴赫猜想，它曾經是單葉函式的研究的中心問題。1925年，J.E.李特爾伍德證明了|αn|n， 此後迭經改進，其中重要的一步是1965年И.М.米林套用他創造的方法證明了|αn|<1.243n。另外,1972年C.H.菲茨傑拉爾德建立了重要的不等式，證明了
。1923年K.勒夫納創造了參數表示法,證明了|α3|≤3。1955年，P.R.加拉貝迪安與M.M.席費爾套用變分法證明了|α4|≤4。1960年Z.恰爾任斯基和席費爾套用格倫斯基不等式簡化了證明。沿用這個方法，1968年，R.N.佩德森和小沢滿各自證明了|α6|≤6。1972年，佩德森和席費爾證明了|α5|≤5。另外可以證明,對於一些特殊函式類,比伯巴赫猜想成立,如星象函式、近似凸函式、實係數函式等。1955年W.K.海曼證明了
，等號成立限於克貝函式。即對於一個固定的,在｜z｜<1中解析單葉的函式，當n充分大時，比伯巴赫猜想成立。 由比伯巴赫猜想產生了一系列相關的猜想，如米林猜想，羅伯森猜想，希爾斯莫爾猜想，羅戈辛斯基猜想，李特爾伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想；若ƒ在D中正則單葉且ƒ(0)=0，ƒ┡(0)=1,
,則
，對所有n=1,2,…都成立。可以證明米林猜想導出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基結合勒夫納方法及米林方法證明了米林猜想，從而證明了比伯巴赫猜想。歷時68年終於證明了這個著名的猜想。