一元方程

一元方程

一元方程(monadic equation)是一種最簡單的方程,指含有一個未知數的方程,更確切的意義是:如果一個方程中,有若干個字母,當把其中某一個字母當成未知數,而把其餘字母當成已知數時,方程就稱為該字母的一元方程。在討論多元方程時,也可以出現除一個元外,含有其他各元的項的係數均為零而成為一元方程的情形。例如x+1=0可看成x,y的二元方程x+0y+1=0,它在平面直角坐標系中表示一條直線 。

基本介紹

在數域F上只含有一個未知數的方程,叫做F上的一元方程,一元一次方程、一元二次方程等都是一元方程。一元方程的解又叫做方程的根。

含有未知數的等式叫做關於這個(或這些)未知數的方程,簡稱方程。方程中的未知數叫做方程的元。含有幾個未知數的方程就叫做幾元方程。例如,關於x的方程ax=b,就是以x為未知數的一元方程。等式F(x,y,z)=F(x,y,z)就表示一個以x,y,z為元的三元方程。

一元方程的解與解集

能夠使方程左右兩邊的值相等的未知數的值,叫做方程的解。多元方程的解是一組未知數的值。如x=2,y=1是二元方程2x-y=3的一個解 。

一元方程的解也叫做方程的根。如果一個方程的全體根中有幾個根相等,那么這幾個根叫做重根。例如一元方程x (x-1) (x+3)=0,它的根是x=x=x=0,x=x=1,x=-3,那么“0”就是它的三重根,“1”就是它的二重根,“-3”不是重根,可以稱之為單根,一般只對整式方程研究重根問題。

一個方程的解的全體所組成的集合,叫做這個方程的解的集合,簡稱解集。若方程無解,解集就是空集。無解的方程叫做矛盾方程,故矛盾方程的解集是空集 。

求出方程的所有的解或判斷方程無解的過程,叫做解方程。在不同的數集裡解同一個方程,所得的解集不一定相同。例如一元方程

一元方程 一元方程

在有理數集裡有兩個根是±1,其解集是{1,-1};在實數集裡有四個根是

一元方程 一元方程

那么在實數集裡解此方程所得解集為

一元方程 一元方程

在複數集裡解此方程則有六個根:

一元方程 一元方程

故得解集為

一元方程 一元方程

再如方程

一元方程 一元方程

在實數集裡是矛盾方程,在複數集裡則不是矛盾方程。一般地,應指明在什麼範圍(數域)里研究。中學數學裡解方程時若不明確求解的範圍(數域),即是指在實數域裡求解 。

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