泊松方程和拉普拉斯方程

泊松方程和拉普拉斯方程

正文

勢函式的一種二階偏微分方程。廣泛套用於電學、磁學、力學、熱學等多種熱場的研究與計算。
簡史　1777年，J.L.拉格朗日研究萬有引力作用下的物體運動時指出：在引力體系中，每一質點的質量mk除以它們到任意觀察點P的距離rk,並且把這些商加在一起，其總和即P點的勢函式，勢函式對空間坐標的偏導數正比於在 P點的質點所受總引力的相應分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函式滿足偏微分方程：,叫做勢方程，後來通稱拉普拉斯方程。1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質的區域內部,則拉普拉斯方程應修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質的密度。文中要求重視勢函式 V在電學理論中的套用,並指出導體表面為等熱面。
靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程　若空間分區充滿各向同性、線性、均勻的媒質，則從靜電場強與電勢梯度的關係E=-墷V和高斯定理微分式，即可導出靜電場的泊松方程：

，

式中ρ為自由電荷密度，純數 εr為各分區媒質的相對介電常數，真空介電常數εo=8.854×10-12法／米。在沒有自由電荷的區域裡，ρ＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程

。

在各分區的公共界面上，V滿足邊值關係

式中i，j指分界面兩邊的不同分區，σ 為界面上的自由電荷密度，n表示邊界面上的內法線方向。
邊界條件和解的唯一性　為了在給定區域內確定滿足泊松方程以及邊值關係的解，還需給定求解區域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷,叫做諾埃曼邊界條件。
邊界幾何形狀較簡單區域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數，稍複雜的須用計算機求數值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
除了靜電場之外，在電學、磁學、力學、熱學等領域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。各類物理本質完全不同的勢場如果具有相似的邊界條件，則因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一個勢場的解，或該勢場模型中實驗測繪的等熱面或流線圖，經過對應物理量的換算之後，可以通用於其他的勢場。
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程　在SI制中，靜磁場滿足的方程為

式中j為傳導電流密度。第一式表明靜磁場可引入磁矢勢r)描述：

在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度j0的區域裡，磁矢勢滿足的方程為

選用庫侖規範，墷·r)=0，則得磁矢勢r)滿足泊松方程

式中純數μr 為媒質的相對磁導率， 真空磁導率μo=1.257×10-6亨／米。在傳導電流密度j=0的區域裡,上式簡化為拉普拉斯方程

靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。
參考書目
　郭碩鴻著:《電動力學》,人民教育出版社,北京,1979。
　J.D.傑克遜著,朱培豫譯：《經典電動力學》下冊,人民教育出版社,北京,1980。(J.D. Jackson,Classical electrodynamics,John Wilye & Sons,New York,1976.)

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