增乘開方法
它由11世紀的賈憲首創，中經12世紀的劉益，到13世紀秦九韶最後完成。19世紀歐洲出現的霍納法的步驟以及現代數學中綜合除法的原理與它相同。賈憲增乘開方法 據楊輝《九章算法纂類》記載，賈憲創造了增乘開平方法和增乘開立方法，它不是一次運用賈憲三角中的係數，而是採用隨乘隨加的方法得到減根方程。如求x3=N的正根,設立方根有n+1位整數,先列開方式(1)
。再對(4)式重複上述步驟，直到求出所需要的答數。這種方法，程式整齊，運算簡捷，既可以直接推廣到任意高次冪的開方，又可以運用到求高次方程的數值解。 劉益的貢獻 劉益，中山（今河北省定縣）人，生活於12世紀,楊輝說：“劉益以勾股之術治演段鎖方,《議古根源》二百問，帶益隅開方，實冠前古”《算法通變本末》（卷上）。《議古根源》今已失傳，楊輝的著作里保存了其中部分題目。到賈憲為止，中國數學家考慮的方程首項係數均為1,並且從未考慮過負係數方程。劉益首先打破了這個界限，考慮了許多含有“負方”或“益隅”(甚至首項係數不為1)即形如x2-bx=с或-αx2+bx=с的方程（α,b,с均大於0）,並創造了“益積術”和“減從術”解決之。這兩種方法尚不是增乘開方法，但首先考慮一般係數方程，是中國方程發展史上一項極其重要的成就。同時，劉益還首次認識到減根方程中有常數項或一次項係數變號的情況。
秦九韶的正負開方術 秦九韶《數書九章》(1247)81個問題中有21個問題26個開方式用增乘開方法求正根。他在賈憲、劉益的基礎上，系統地總結了這一成就，又作了創新。在他之前出現的方程中,"實"都是正數,開方式相當於常數項在方程右端。秦九韶規定“實常為負”相當於方程中常數項與未知數係數放在一端，這樣正負相消，可以把增乘開方的隨乘隨加進行到底。開方式的其他係數不再有任何限制,可正可負，也可以是整數,也可以是小數。開方過程中,常數項一般越來越大,最後變成或接近於零。但有時會由負變正。他稱之為“換骨”，而將全部開方過程稱為“開翻法某乘方”；有時常數項符號不變，但絕對值增大，他稱之為“投胎”。如卷五“尖田求積”題的"開翻法三乘方",該題需解方程-x4+763200x2-40642560000=0,其開方過程如下。① 列開方式:開玲瓏三乘方。② 上廉超一位，益隅超三位，商數進一位。上廉再超一位，益隅再超三位，商數再進一位，上商八百為定。③以商生隅，入益下廉，以商生下廉，廉，入方，以商生方，得正積，乃與實相消。以負實消正積，其積乃有餘，為正實，謂之“換骨”。④ 一變:以商生隅，入下廉。以商生下廉,入上廉內,相消。以正負上廉相消。以商生上廉，入方內，相消。以正負方相消。⑤二變:以商生隅,入下廉；以商生下廉，入上廉。⑥ 三變：以商生隅，入下廉。⑦四變:方一退，上廉二退，下廉三退，隅四退；商續置。⑧以方約實,續商置四十，生隅入下廉內。以商生下廉,入上廉內。以商生上廉，入方內。以續商四十命方法，除實，適盡。所得商數八百四十步，為田積。
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法
增乘開方法①“連枝同體術”,在α0x2+α1=0中,若首項係數α0是非平方數，則進行
的代換,將首項係數變成1求解。 ② 命分法,求出根的整數部分,進行減根變換後,秦九韶以減根方程的方、廉，隅各數的和為分母，余實為分子的分數表示根的非整數部分。
③ 繼續開方求十進小數。
顯然，這些方法都是《九章算術》及其劉徽注有關思想的發展。
李冶、朱世傑的貢獻 李冶、朱世傑的方程均由天元術得到,其未知數係數和常數項都可正可負,沒有“實常為負”的規定，這是一個很大的進步。李冶運用增乘開方法時,也考慮了常數項變號和絕對值增大的情況,在求｜α0｜≠1的一般二次方程的有理根時,李冶進行代換
求解。朱世傑把這種方法推廣到求三次、四次方程的有理正根。有不可磨滅的功績。 李銳等人的貢獻 入明以後四百多年間，增乘開方法和宋元許多重大數學成就一樣，無人通曉，幾乎成為絕學。清中葉編纂《四庫全書》後，中國古典數學受到重視，焦循、汪萊；李銳研究增乘開方法很有成就。汪萊討論了有正根與無正根的方程，正根與各係數正負號的關係。李銳更精闢地總結了正根與係數符號的關係法則，得到與R.笛卡兒同樣的結果。他還發現方程可能有負根,並用增乘開方法求負根，指出方程可能有重根,討論了方程次數與實根個數的關係，使中國方程論形成一門比較完整的學科。
