馬爾可夫參數估計

馬爾可夫參數估計，是數學科學中的專業術語，是以建立系統最小實現狀態方程的非參數模型辨識方法。

馬爾可夫參數估計

正文

通過對傳遞函式陣（見傳遞函式）的辨識求出馬爾可夫參數，以建立系統最小實現狀態方程的非參數模型辨識方法。對於離散的單輸入單輸出系統，脈衝回響權序列{hi，i＝0，1，…}的Z變換就是脈衝傳遞函式H(z)，即 。對於滿足完全可觀測和完全可控條件的多輸入多輸出系統，存在著形式上與{hi}序列相似的非參數模型{Ji，i＝0，1,…}。如果多輸入多輸出的傳遞函式陣為G(z)，它可以表示為

　G(z)＝D＋J0z-1＋J1z-2＋…

這個矩陣序列{Ji，i＝0，1，…}稱為多輸入多輸出系統的馬爾可夫參數。多輸入多輸出系統辨識的困難在於無法得到惟一解，但可考慮其最小實現的辨識。設線性定常系統為

x(k＋1)＝Ax(k)＋Bu(k)

y(k)＝Cx(k)＋Du(k)

式中x(k)是n維狀態向量，y(k)是m維觀測向量,u(k)為r維輸入。系統的等價類上的傳遞函式為

G(z)＝C(zI-A)-1B＋D

由定義JiCAiB 所給出的馬爾可夫參數與G(z)之間的關係即符合上述Z變換的關係。由馬爾可夫參數{Ji}構成的漢克爾矩陣Hn為

其中On為完全可觀測矩陣，Cn為完全可控矩陣。由系統的完全可控與完全可觀測的假定可知：rank (On) ＝n,rank(Cn)＝n,亦即rank(Hn)＝n。因此,系統為最小實現的充分必要條件是：由馬爾可夫參數構成的漢克爾矩陣的秩為 n。為了獲得馬爾可夫參數的估計，需要先辨識傳遞函式陣G(z)，然後把G(z)展成z-1的矩陣多項式,其相應的係數矩陣就是馬爾可夫參數的估計。辨識馬爾可夫參數的目的在於建立最小實現的狀態方程，著名的方法之一是何-卡爾曼方法,可表述為:給定{Ji，i＝0,1,2，…},存在有窮維最小實現(A，B，C),它以Ji為其馬爾可夫參數的充分必要條件是存在一個整數q及常數α1，α2，…，αq,使對任何j≥0有。

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