簡介
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號 雅可比符號
雅可比符號 雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號雅可比符號(Jacobi symbol)是勒讓德符號的推廣，整數 對整數 的雅可比符號表示為 。設 是大於 的奇數，且 的素因數分解式為 (式中因數可以相同)，如果 ，則雅可比符號定義為：
雅可比符號
雅可比符號 雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號其中， 是 對 的勒讓德符號。例如，取 ，則：
雅可比符號
雅可比符號註：雅可比符號是勒讓德符號的推廣，但是根據雅可比符號的值不能判斷同餘式是否有解。
定義補充說明
雅可比符號（1）當 是奇素數時，雅可比符號就是勒讓德符號。
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號（2）當 是奇素數且 時，方程 有解。當m不是奇素數時，這個結論不一定成立。
定理
定理1
雅可比符號（1）若 ，則
雅可比符號
雅可比符號（2）
雅可比符號（3）對於任意的整數 ，有
雅可比符號（4）對於任意的整數a，b，(a,m)= 1，有
雅可比符號定理2
雅可比符號
雅可比符號設 是奇數，其中 是素數，則下面的結論成立：
雅可比符號（1）
雅可比符號（2）
定理3
設m，n是大於1的奇整數，則
雅可比符號 雅可比符號利用以上定理，可以容易計算Jacobi符號，特別是Legendre符號的數值。但是，必須注意，在判斷方程 的可解性時，Legendre符號和Jacobi的作用是不一樣的。
雅可比符號 雅可比符號對於一般的正奇數m來說，即使條件 成立，也並不能保證 一定有解。
舉例
例1
雅可比符號已知3371是素數，判斷方程 是否有解。
解：利用Jacobi符號的性質，有
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號因此，方程無解。
例2
雅可比符號設a與b是正奇數，求 的關係。
解：
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號
雅可比符號