定理簡介
阿基米德折弦定理英國人希思（T?L?Heath，1861～1940）編的《阿基米德全集》未見收錄，當然我國在1998年根據希思本由朱恩寬、李文銘譯，葉彥潤、常心怡校的中文版《阿基米德全集》（陝西科技出版社）也就沒有收錄阿基米德折弦定理。（雖然這本全集中未收錄折弦定理，但一些競賽書上還是給予了介紹）阿拉伯Al-Biruni（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理。
"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。
從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。
證明方法
該定理常規的證明方法有以下幾種：方法1：補短法
補短法∵M是弧ABC的中點
∴∠MCA=∠MAC=∠MBC
∵MBAC四點共圓
∴∠MCA+∠MBA=180°
∵∠MBC+∠MBF=180°
∴∠MBA=∠MBF
∵MB=MB,BF=BA
∴△MBF≌△MBA
∴∠F=∠MAB=∠MCB
∴MF=MC
∵MD⊥CF
∴CD=DF=DB+BF=AB+BD
方法2：截長法
截長法∵MD⊥BG
∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC
∵M是弧ABC的中點
∴∠MAC=∠MCA=∠MGB
即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA
又∠MGB=∠MCB+∠GMC
∴∠BMA=∠GMC
∵MA=MC
∴△MBA≌△MGC
∴AB=GC
∴CD=CG+GD=AB+BD
方法3：垂線法
垂線法∵M是弧ABC的中點
∴MA=MC
∵MD⊥BC
∴∠MDC=90°=∠H
∵∠MAB=∠MCB
∴△MHA≌△MDC
∴AH=CD，MH=MD
又∵MB=MB
∴Rt△MHB≌Rt△MDB
∴HB=BD
∴CD=AH=AB+BH=AB+BD
推論
推論1
推論1證明：
如圖，作MD⊥BC，由勾股定理得
MC²=CD²+MD²
MB²=BD²+MD²
∴MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB
推論2
推論2證明：如圖，取弧ABC的中點N，連線MN
由推論1可知AB*BC=NC²-NB²
∵M是弧AC的中點，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2
且弧ABC+弧AMC=圓周360°
∴弧CN+弧CM=弧MN=180°
∴MN是直徑
∵C、B在圓上
∴∠MCN=∠MBN=90°
勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²
∴NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC
逆定理
設D是△ABC邊BC上一點，且AB+BD=CD。作△ABC的外接圓，有如下逆定理：逆定理1
取弧ABC的中點M，連線MD，則MD⊥BC。
證明：不妨作MD‘⊥BC於D’，根據定理有AB+BD‘=CD’
∵AB+BD=CD
∴CD'-BD'=CD-BD=AB
∴D與D'重合
∴MD⊥BC
逆定理2
作DM⊥BC交弧ABC於M，則M是弧ABC的中點。
證明：不妨取弧ABC中點M'，由逆定理1可知M'D⊥BC
∵MD⊥BC，且M在弧ABC上
∴M與M’重合
∴M是弧ABC的中點
