對數留數
輻角原理
輻角原理積分 的值稱為複變函數 的對數留數。
輻角原理設C是一條閉曲線，若 符合條件：
輻角原理 輻角原理1） 在C內部除可能的極點外解析，即 為亞純函式；
輻角原理2） 在C上解析且不為零，則有
輻角原理
輻角原理
輻角原理 輻角原理其中 與 分別表示 在C的內部的零點和極點的個數（一個n級零點算作n個零點，而一個m級極點算作m個極點）。
定義
輻角原理
輻角原理
輻角原理設複變函數 ，當複平面Z上的z點沿閉曲線C的正向（逆時針）繞行一周時（如右圖a），複平面W上的 點就相應地畫出一條連續閉曲線Γ（如右圖b）。
根據複變函數對數的定義，有
輻角原理由右圖以及上式可歸納出：
輻角原理
輻角原理1）當Γ是一條包含原點的簡單閉曲線時， 點沿Γ繞行一周，上式右端第1項的量沒有變化，而第2項的量改變了 （逆時針繞行取正，順時針取負）；
2）當Γ曲線內不包含原點時，上式右端兩項的改變數均為零。
輻角原理
輻角原理設C是一條閉曲線，定義 為z沿著曲線C的正向繞行一周后 的改變數。
由此可得輻角原理如下：
輻角原理 輻角原理設D是閉曲線C所圍成的區域，若（1） 在D內除可能的極點外解析，即為亞純函式；（2） 在C上解析且不為零，則
輻角原理證明
由牛頓-萊布尼茨公式可知：
輻角原理
輻角原理 輻角原理再由
可知
輻角原理得證。
套用
1）用於求解複變函數的零點或極點個數
輻角原理2）用於求解方程的根的個數
3）在自動控制中，作為奈奎斯特穩定判據的理論基礎（奈奎斯特穩定判據用於分析單變數系統的穩定性）
